Экзаменационный билет № 5

Привет! Давай разберем задания из твоего билета по математике. ### 1. Вычислить а) $5\sqrt{160 \cdot 0,2} = 5\sqrt{32} = 5\sqrt{16 \cdot 2} = 20\sqrt{2}$ б) $3 \cdot 81^{1/4} \cdot 3^{1/2} = 3 \cdot (3^4)^{1/4} \cdot 3^{1/2} = 3 \cdot 3 \cdot 3^{1/2} = 9\sqrt{3}$ в) $(3\sqrt{64})^2 = (3 \cdot 8)^2 = 24^2 = 576$ г) $(2 \cdot 27^{1/3})^2 = (2 \cdot 3)^2 = 36$ д) $\frac{7^{0,9}}{7^{0,4}} = 7^{0,9-0,4} = 7^{0,5} = \sqrt{7}$ е) $\frac{\sqrt[3]{192}}{\sqrt[3]{3}} = \sqrt[3]{64} = 4$ ж) $\log_3 18 + \log_3 \frac{1}{6} = \log_3 (18 \cdot \frac{1}{6}) = \log_3 3 = 1$ з) $3^{2\log_3 6} = 3^{\log_3 6^2} = 6^2 = 36$ и) $\frac{\log_4 125}{\log_4 5} = \log_5 125 = 3$ к) $(\sqrt{11} - \sqrt{3})^2 + (\sqrt{11} + \sqrt{3})^2 = (11 - 2\sqrt{33} + 3) + (11 + 2\sqrt{33} + 3) = 28$ ### 2. Выполнить действия а) $(1 - 3i) + (7 + 5i) = 8 + 2i$ б) $(3 + 9i) \cdot (-4 - 2i) = -12 - 6i - 36i - 18i^2 = -12 - 42i + 18 = 6 - 42i$ в) $\frac{9-i}{2+4i} = \frac{(9-i)(2-4i)}{(2+4i)(2-4i)} = \frac{18 - 36i - 2i + 4i^2}{4 - 16i^2} = \frac{14 - 38i}{20} = 0,7 - 1,9i$ ### 3. Решить уравнения а) $2\cos x = \sqrt{3} \Rightarrow \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ б) $8^{x-8} = (8^{-1})^{6x-1} \Rightarrow x-8 = -6x+1 \Rightarrow 7x = 9 \Rightarrow x = \frac{9}{7}$ в) $\sqrt{2x-1} = x-2 \Rightarrow 2x-1 = x^2-4x+4 \Rightarrow x^2-6x+5 = 0$. Корни: $x=5, x=1$. При проверке $x=1$ не подходит (посторонний корень). Ответ: $x=5$ г) $\log_{1/3}(8-5x) = -2 \Rightarrow 8-5x = (1/3)^{-2} = 9 \Rightarrow -5x = 1 \Rightarrow x = -0,2$ д) $\frac{(8-x)(8+x)}{x+8} = 2,3 \Rightarrow 8-x = 2,3 \Rightarrow x = 5,7$ е) $x+7 = \frac{4}{4+x} \Rightarrow x^2 + 11x + 28 = 4 \Rightarrow x^2 + 11x + 24 = 0$. Корни: $x=-3, x=-8$ ### 4. Решить неравенства а) $(2^{-1})^{2x} \ge 2^3 \Rightarrow -2x \ge 3 \Rightarrow x \le -1,5$ б) $\log_{1/3}(3-2x) > \log_{1/3} 3 \Rightarrow 3-2x < 3 \Rightarrow -2x < 0 \Rightarrow x > 0$. Учитывая область определения ($3-2x > 0 \Rightarrow x < 1,5$), получаем: $0 < x < 1,5$ ### 5. Найти первообразную $F(x) = \int (2x-5) dx = x^2 - 5x + C$. Подставляем точку $(2, 4): 4 = 2^2 - 5(2) + C \Rightarrow 4 = 4 - 10 + C \Rightarrow C = 10$. Ответ: $F(x) = x^2 - 5x + 10$ ### 6. Вычислить определенный интеграл а) $\int_1^3 x^3 dx = [\frac{x^4}{4}]_1^3 = \frac{81}{4} - \frac{1}{4} = 20$ б) $\int_0^{\pi/4} \frac{dx}{\cos^2 x} = [\tan x]_0^{\pi/4} = \tan(\frac{\pi}{4}) - \tan 0 = 1 - 0 = 1$