1. Вычислить:

Привет! Давай разберем твой экзаменационный билет по математике. ### 1. Вычислить: а) $5\sqrt{160} \cdot \sqrt{0,2} = 5\sqrt{160 \cdot 0,2} = 5\sqrt{32} = 5 \cdot \sqrt{16 \cdot 2} = 5 \cdot 4\sqrt{2} = 20\sqrt{2}$ б) $3 \cdot 81^{\frac{1}{4}} \cdot 3^{\frac{1}{2}} = 3 \cdot (3^4)^{\frac{1}{4}} \cdot 3^{\frac{1}{2}} = 3 \cdot 3^1 \cdot 3^{\frac{1}{2}} = 3^{1+1+0,5} = 3^{2,5} = 3^2 \cdot \sqrt{3} = 9\sqrt{3}$ в) $(\sqrt[3]{64})^2 = (4)^2 = 16$ г) $(2 \cdot 27^{\frac{1}{3}})^3 = 2^3 \cdot (27^{\frac{1}{3}})^3 = 8 \cdot 27 = 216$ д) $\frac{\sqrt{48}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{48}{3}} = \sqrt{16} = 4$ е) $\frac{\sqrt[3]{192}}{\sqrt[3]{3}} = \sqrt[3]{\frac{192}{3}} = \sqrt[3]{64} = 4$ ж) $\log_3 18 + \log_3 \frac{1}{6} = \log_3 (18 \cdot \frac{1}{6}) = \log_3 3 = 1$ з) $3^{2\log_3 6} = 3^{\log_3 6^2} = 6^2 = 36$ и) $\frac{\log_4 125}{\log_4 5} = \log_5 125 = 3$ к) $(\sqrt{11} - \sqrt{3})^2 + (\sqrt{11} + \sqrt{3})^2 = (11 - 2\sqrt{33} + 3) + (11 + 2\sqrt{33} + 3) = 14 - 2\sqrt{33} + 14 + 2\sqrt{33} = 28$ ### 2. Выполнить действия: а) $(1 - 3i) + (7 + 5i) = 1 + 7 - 3i + 5i = 8 + 2i$ б) $(3 + 9i) \cdot (-4 - 2i) = -12 - 6i - 36i - 18i^2 = -12 - 42i - 18(-1) = -12 - 42i + 18 = 6 - 42i$ в) $\frac{9 - i}{2 + 4i} = \frac{(9-i)(2-4i)}{(2+4i)(2-4i)} = \frac{18 - 36i - 2i + 4i^2}{4 - 16i^2} = \frac{18 - 38i - 4}{4 + 16} = \frac{14 - 38i}{20} = 0,7 - 1,9i$ ### 3. Решить уравнения: а) $2\cos x - \sqrt{3} = 0 \Rightarrow \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in Z$ б) $8^{7x - 8} = (\frac{1}{8})^{6x - 1} \Rightarrow 8^{7x - 8} = 8^{-(6x - 1)} \Rightarrow 7x - 8 = -6x + 1 \Rightarrow 13x = 9 \Rightarrow x = \frac{9}{13}$ в) $\sqrt{2x - 1} = x - 2$. Возведем в квадрат ($x \ge 2$): $2x - 1 = x^2 - 4x + 4 \Rightarrow x^2 - 6x + 5 = 0$. По теореме Виета $x_1=5, x_2=1$ (не подходит). Ответ: $x=5$. г) $\log_{\frac{1}{8}}(8 - 5x) = -2 \Rightarrow 8 - 5x = (\frac{1}{8})^{-2} \Rightarrow 8 - 5x = 64 \Rightarrow -5x = 56 \Rightarrow x = -11,2$ д) $\frac{64 - x^2}{x + 8} = 2,3 \Rightarrow \frac{(8-x)(8+x)}{x+8} = 2,3$. При $x \neq -8$: $8 - x = 2,3 \Rightarrow x = 5,7$ е) $x + 7 = \frac{4}{4+x}$. При $x \neq -4$: $(x+7)(x+4) = 4 \Rightarrow x^2 + 11x + 28 - 4 = 0 \Rightarrow x^2 + 11x + 24 = 0$. Корни $x = -3$ и $x = -8$. ### 4. Решить неравенства: а) $(\frac{1}{2})^{2x} \ge 8 \Rightarrow (2^{-1})^{2x} \ge 2^3 \Rightarrow -2x \ge 3 \Rightarrow x \le -1,5$ б) $\log_{\frac{1}{8}}(3 - 2x) > -1$. ОДЗ: $3 - 2x > 0 \Rightarrow x < 1,5$. Неравенство: $3 - 2x < (\frac{1}{8})^{-1} \Rightarrow 3 - 2x < 8 \Rightarrow -2x < 5 \Rightarrow x > -2,5$. Ответ: $x \in (-2,5; 1,5)$. ### 5. Первообразная для $f(x) = 2x - 5$ через точку $B(2;4)$: $F(x) = \int (2x - 5)dx = x^2 - 5x + C$. Подставим $x=2, F(x)=4: 4 = 2^2 - 5(2) + C \Rightarrow 4 = 4 - 10 + C \Rightarrow C = 10$. Ответ: $F(x) = x^2 - 5x + 10$. ### 6. Определенный интеграл: а) $\int_1^3 x^3 dx = [\frac{x^4}{4}]_1^3 = \frac{81}{4} - \frac{1}{4} = \frac{80}{4} = 20$ б) $\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{dx}{\cos^2 x} = [\tan x]_0^{\frac{\pi}{4}} = \tan \frac{\pi}{4} - \tan 0 = 1 - 0 = 1$