4.168. (Т) В окружности проведены хорды AB и AC, причем AB=2, AC=1, угол CAB=120^0. Найти длину той хорды окружности, которая делит угол CAB пополам.

Пусть хорда $AD$ делит угол $CAB$ пополам, то есть $AD$ — биссектриса угла $A$, при этом точка $D$ лежит на окружности. Так как $\angle CAB = 120^\circ$, то $\angle CAD = \angle DAB = 60^\circ$. Рассмотрим треугольник $ABC$. По теореме косинусов для стороны $BC$: $BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(120^\circ) = 2^2 + 1^2 - 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot (-0,5) = 4 + 1 + 2 = 7$. $BC = \sqrt{7}$. Пусть $AD = x$. Обозначим $\angle ADB = \alpha$. Поскольку точки $A, B, D, C$ лежат на одной окружности, $\angle ACB = 180^\circ - \angle ADB$ (свойство вписанного четырехугольника, если бы точки были в таком порядке, но здесь хорды выходят из одной точки, поэтому $ADBC$ — вписанный четырехугольник не совсем корректно, здесь $A, B, C, D$ лежат на окружности в порядке $C, D, B$ или $B, D, C$ на дуге). Верный подход: площадь $\triangle ABC = S_{\triangle ACD} + S_{\triangle ADB}$. $S_{\triangle ABC} = 0,5 \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(120^\circ) = 0,5 \cdot 2 \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. $S_{\triangle ACD} = 0,5 \cdot AC \cdot AD \cdot \sin(60^\circ) = 0,5 \cdot 1 \cdot x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{x\sqrt{3}}{4}$. $S_{\triangle ADB} = 0,5 \cdot AD \cdot AB \cdot \sin(60^\circ) = 0,5 \cdot x \cdot 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{x\sqrt{3}}{2}$. $\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{x\sqrt{3}}{4} + \frac{x\sqrt{3}}{2} = \frac{x\sqrt{3} + 2x\sqrt{3}}{4} = \frac{3x\sqrt{3}}{4}$. $\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3x\sqrt{3}}{4} \implies \frac{1}{2} = \frac{3x}{4} \implies 3x = 2 \implies x = \frac{2}{3}$. Ответ: \frac{2}{3}