x^2/y^2 + y^2/x^2 = x/y + y/x; x^2 + y^2 = 2.

Для решения системы уравнений: 1) $\frac{x^2}{y^2} + \frac{y^2}{x^2} = \frac{x}{y} + \frac{y}{x}$ 2) $x^2 + y^2 = 2$ Введем замену $t = \frac{x}{y} + \frac{y}{x}$. Тогда: $t^2 = (\frac{x}{y} + \frac{y}{x})^2 = \frac{x^2}{y^2} + 2 + \frac{y^2}{x^2}$ Следовательно, $\frac{x^2}{y^2} + \frac{y^2}{x^2} = t^2 - 2$. Подставим это в первое уравнение: $t^2 - 2 = t$ $t^2 - t - 2 = 0$ Корни квадратного уравнения: $t_1 = 2, t_2 = -1$. **Случай 1: $t = 2$** $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = 2 \Rightarrow \frac{x^2 + y^2}{xy} = 2$ Так как из второго уравнения $x^2 + y^2 = 2$, получаем: $\frac{2}{xy} = 2 \Rightarrow xy = 1$ Имеем систему: $\{x^2 + y^2 = 2, xy = 1\}$ $(x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy = 2 + 2 = 4 \Rightarrow x + y = \pm 2$ $(x - y)^2 = x^2 + y^2 - 2xy = 2 - 2 = 0 \Rightarrow x - y = 0 \Rightarrow x = y$ Если $x=y$, то $x^2 + x^2 = 2 \Rightarrow 2x^2 = 2 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$. Получаем пары: $(1; 1)$ и $(-1; -1)$. **Случай 2: $t = -1$** $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = -1 \Rightarrow \frac{x^2 + y^2}{xy} = -1$ $\frac{2}{xy} = -1 \Rightarrow xy = -2$ Имеем систему: $\{x^2 + y^2 = 2, xy = -2\}$ $(x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy = 2 - 4 = -2$. Решений в действительных числах нет, так как квадрат числа не может быть отрицательным. **Ответ:** $(1; 1), (-1; -1)$.