4.157. Из одной точки проведены к окружности две касательные. Длина каждой касательной 12 см, а расстояние между точками касания 14,4 см. Определить радиус окружности.

Пусть $O$ — центр окружности, $A$ — точка, из которой проведены касательные, а $M$ и $N$ — точки касания. Отрезки $AM$ и $AN$ — касательные, $AM = AN = 12$ см. Отрезок $MN = 14,4$ см — расстояние между точками касания. 1. Соединим $O$ с точками касания $M$ и $N$, а также с точкой $A$. $OM = ON = r$ (радиусы). Радиусы перпендикулярны касательным ($OM \perp AM$, $ON \perp AN$). 2. Отрезок $AO$ является биссектрисой угла $\angle MAN$ и серединным перпендикуляром к хорде $MN$. Пусть $H$ — точка пересечения $AO$ и $MN$. Тогда $MH = \frac{1}{2} MN = \frac{14,4}{2} = 7,2$ см. 3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AMO$, где $MH$ — высота, проведенная из прямого угла $M$ к гипотенузе $AO$. Из подобия треугольников $\triangle AMH \sim \triangle OMA$ следует: $\frac{MH}{OM} = \frac{AM}{AO}$, то есть $OM = \frac{MH \cdot AO}{AM}$. 4. В $\triangle AMH$: $AH = \sqrt{AM^2 - MH^2} = \sqrt{12^2 - 7,2^2} = \sqrt{144 - 51,84} = \sqrt{92,16} = 9,6$ см. 5. В $\triangle AMH$ и $\triangle OMA$ (подобие): $AO = \frac{AM^2}{AH} = \frac{12^2}{9,6} = \frac{144}{9,6} = 15$ см. 6. Теперь из $\triangle AMO$ найдем радиус $r = OM = \sqrt{AO^2 - AM^2} = \sqrt{15^2 - 12^2} = \sqrt{225 - 144} = \sqrt{81} = 9$ см. **Ответ: 9 см.**