а) Решите уравнение 8 sin^2 ( 7pi/12 + x ) - 2sqrt(3) cos 2x = 5. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [- 7pi/2; - 5pi/2].

### а) Решение уравнения Дано уравнение: $8 \sin^2 \left( \frac{7\pi}{12} + x \right) - 2\sqrt{3} \cos 2x = 5$ 1. Используем формулу понижения степени: $\sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}$. Тогда: $8 \cdot \frac{1 - \cos \left( 2(\frac{7\pi}{12} + x) \right)}{2} - 2\sqrt{3} \cos 2x = 5$ $4 \left( 1 - \cos \left( \frac{7\pi}{6} + 2x \right) \right) - 2\sqrt{3} \cos 2x = 5$ 2. Раскроем косинус суммы: $\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$. $\cos \left( \frac{7\pi}{6} + 2x \right) = \cos \frac{7\pi}{6} \cos 2x - \sin \frac{7\pi}{6} \sin 2x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \cos 2x - (-\frac{1}{2}) \sin 2x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \cos 2x + \frac{1}{2} \sin 2x$. 3. Подставим обратно в уравнение: $4 - 4\left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \cos 2x + \frac{1}{2} \sin 2x \right) - 2\sqrt{3} \cos 2x = 5$ $4 + 2\sqrt{3} \cos 2x - 2 \sin 2x - 2\sqrt{3} \cos 2x = 5$ $4 - 2 \sin 2x = 5$ $-2 \sin 2x = 1$ $\sin 2x = -\frac{1}{2}$ 4. Решим простейшее уравнение: $2x = (-1)^k \arcsin(-\frac{1}{2}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ $2x = (-1)^k (-\frac{\pi}{6}) + \pi k$ $x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$ Или в двух сериях: $x = -\frac{\pi}{12} + \pi k$ $x = -\frac{5\pi}{12} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ ### б) Отбор корней на отрезке $[-\frac{7\pi}{2}; -\frac{5\pi}{2}]$ Отрезок можно представить как $[-\frac{42\pi}{12}; -\frac{30\pi}{12}]$. 1. Проверим серию $x = -\frac{\pi}{12} + \pi k$: При $k = -3$: $x = -\frac{\pi}{12} - \frac{36\pi}{12} = -\frac{37\pi}{12}$ (принадлежит отрезку). При $k = -2$: $x = -\frac{\pi}{12} - \frac{24\pi}{12} = -\frac{25\pi}{12}$ (не принадлежит). 2. Проверим серию $x = -\frac{5\pi}{12} + \pi k$: При $k = -2$: $x = -\frac{5\pi}{12} - \frac{24\pi}{12} = -\frac{29\pi}{12}$ (принадлежит). При $k = -3$: $x = -\frac{5\pi}{12} - \frac{36\pi}{12} = -\frac{41\pi}{12}$ (принадлежит). **Ответ:** а) $x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$; б) $-\frac{41\pi}{12}; -\frac{37\pi}{12}; -\frac{29\pi}{12}$.