4.155. (Т) Из точки P, лежащей вне окружности, проведены к ней две секущие - PBA и PCD. Центральный угол, опирающийся на дугу AD, равен 120°, а опирающийся на дугу BC - 60°. Известно, что AB = 3, BP = 2, PC = 2,5. Найти площадь треугольника ADP.

Для решения задачи воспользуемся свойствами секущих, проведенных из одной точки к окружности, и геометрическими свойствами углов в окружности. 1. **Длина отрезка PD:** По теореме о двух секущих, проведенных из одной точки к окружности: $PA \cdot PB = PD \cdot PC$ Сначала найдем $PA = AB + BP = 3 + 2 = 5$. Подставим известные значения в уравнение: $5 \cdot 2 = PD \cdot 2,5$ $10 = PD \cdot 2,5$ $PD = 10 / 2,5 = 4$. 2. **Угол между секущими:** Угол $P$, образованный двумя секущими, равен полуразности градусных мер дуг, заключенных внутри него: $\angle P = \frac{1}{2}(\text{дуга } AD - \text{дуга } BC)$ По условию центральные углы, опирающиеся на эти дуги, равны $120^\circ$ и $60^\circ$, значит: $\angle P = \frac{1}{2}(120^\circ - 60^\circ) = \frac{1}{2}(60^\circ) = 30^\circ$. 3. **Площадь треугольника ADP:** Площадь треугольника можно найти по формуле через две стороны и синус угла между ними: $S = \frac{1}{2} \cdot PA \cdot PD \cdot \sin(\angle P)$ Подставим значения: $S = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 4 \cdot \sin(30^\circ)$ $S = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 0,5$ $S = 10 \cdot 0,5 = 5$. **Ответ:** 5.