4.154. (Т) В окружности с центром O проведена хорда AB, пересекающая диаметр в точке M и составляющая с диаметром угол, равный 60°. Найти OM, если AM = 10 см, а BM = 4 см.

Для решения задачи воспользуемся свойством хорд, пересекающихся в точке $M$: произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды. 1. Пусть диаметр, пересекаемый хордой $AB$, — это отрезок $CD$, где $C$ и $D$ лежат на окружности. Тогда точка $M$ делит диаметр на два отрезка: $CM = R + OM$ и $DM = R - OM$, где $R$ — радиус окружности. 2. Согласно свойству хорд: $AM \cdot BM = CM \cdot DM$. 3. Подставим значения: $10 \cdot 4 = (R + OM)(R - OM)$, откуда $40 = R^2 - OM^2$. Значит, $R^2 = 40 + OM^2$. 4. Проведем перпендикуляр $OK$ из центра $O$ к хорде $AB$. В прямоугольном треугольнике $OKM$ угол $OMK = 60^\circ$, тогда $OK = OM \cdot \sin 60^\circ = OM \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$. 5. Точка $K$ — середина хорды $AB$, так как перпендикуляр из центра делит хорду пополам. Длина хорды $AB = AM + BM = 10 + 4 = 14$ см. Значит, $AK = KB = 7$ см. 6. Отрезок $MK = AM - AK = 10 - 7 = 3$ см. 7. В треугольнике $OKM$ (прямоугольном) по теореме Пифагора: $OM^2 = OK^2 + MK^2$. 8. Подставим значения: $OM^2 = (OM \cdot \frac{\sqrt{3}}{2})^2 + 3^2$. 9. $OM^2 = OM^2 \cdot \frac{3}{4} + 9$. 10. $OM^2 - \frac{3}{4}OM^2 = 9$. 11. $\frac{1}{4}OM^2 = 9$. 12. $OM^2 = 36$. 13. $OM = 6$ см. **Ответ: 6 см.**