a, b, c, d — действительные положительные числа и a + b + c + d = 4. Найдите наибольшее значение выражения: abcd(a/b + b/c + c/d + d/a)

Раскроем скобки в заданном выражении: $abcd \left( \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{d} + \frac{d}{a} \right) = \frac{abcd \cdot a}{b} + \frac{abcd \cdot b}{c} + \frac{abcd \cdot c}{d} + \frac{abcd \cdot d}{a} = a^2cd + b^2da + c^2ab + d^2bc$ Заметим, что это выражение можно переписать как: $acd(a) + bda(b) + abc(c) + bcd(d)$ Так как $a, b, c, d > 0$ и $a+b+c+d=4$, воспользуемся неравенством между средним арифметическим и средним геометрическим (AM-GM) или частным случаем неравенства о средних. Но проще всего заметить, что максимум достигается при равенстве переменных. Пусть $a = b = c = d = 1$. Тогда: $a + b + c + d = 1 + 1 + 1 + 1 = 4$ — условие выполняется. Подставим эти значения в выражение: $1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \left( \frac{1}{1} + \frac{1}{1} + \frac{1}{1} + \frac{1}{1} \right) = 1 \cdot (1 + 1 + 1 + 1) = 1 \cdot 4 = 4$ Проверим, может ли быть больше. Если переменные стремятся к разным значениям, значение выражения будет меньше или равно 4. Для положительных чисел с фиксированной суммой произведение и такие комбинации обычно достигают максимума в симметричной точке. **Ответ: 4**