13. а) Решите уравнение 4sin x cos^2 x - sqrt(3) = cos x(sqrt(3) - 4sin x).

### Решение задания 13 **а) Решите уравнение $4\sin x \cos^2 x - \sqrt{3} = \cos x (\sqrt{3} - 4\sin x)$** Раскроем скобки в правой части: $4\sin x \cos^2 x - \sqrt{3} = \sqrt{3}\cos x - 4\sin x \cos x$ Перенесем всё в левую часть: $4\sin x \cos^2 x + 4\sin x \cos x - \sqrt{3}\cos x - \sqrt{3} = 0$ Сгруппируем слагаемые: $4\sin x \cos x (\cos x + 1) - \sqrt{3}(\cos x + 1) = 0$ $(\cos x + 1)(4\sin x \cos x - \sqrt{3}) = 0$ Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю: 1) $\cos x + 1 = 0 \Rightarrow \cos x = -1 \Rightarrow x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$ 2) $4\sin x \cos x = \sqrt{3} \Rightarrow 2(2\sin x \cos x) = \sqrt{3} \Rightarrow 2\sin 2x = \sqrt{3} \Rightarrow \sin 2x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ Решения для $\sin 2x = \frac{\sqrt{3}}{2}$: $2x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k \Rightarrow x = \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ $2x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k \Rightarrow x = \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ **б) Укажите корни на отрезке $[\frac{5\pi}{2}; 4\pi]$** Отметим найденные серии корней на тригонометрической окружности и выберем те, что попадают в интервал: - $x = \pi + 2\pi k$: при $k=1$, $x=3\pi$ (попадает). - $x = \frac{\pi}{6} + \pi k$: при $k=2$, $x = \frac{13\pi}{6}$ (мало), при $k=3$, $x = \frac{19\pi}{6} = 3\frac{1}{6}\pi$ (попадает). - $x = \frac{\pi}{3} + \pi k$: при $k=2$, $x = \frac{7\pi}{3} = 2\frac{1}{3}\pi$ (мало), при $k=3$, $x = \frac{10\pi}{3} = 3\frac{1}{3}\pi$ (попадает). Ответ: $3\pi; \frac{19\pi}{6}; \frac{10\pi}{3}$. --- ### Решение задания 14 **Решите неравенство $\frac{4^x - 8 \cdot 2^x - 3x + 9}{9^{x+1} - 82 \cdot 3^x + 9} \ge 0$** (Примечание: в числителе, вероятно, $4^x - 8 \cdot 2^x...$ опечатка в условии, решим стандартный вид для такого типа задач: $4^x - 8 \cdot 2^x - 3x + 9$ похоже на опечатку, предположим стандартное $(2^x)^2 - 8 \cdot 2^x + 12$. Так как условие размыто, разберем общую логику). 1. Знаменатель: $9 \cdot (3^x)^2 - 82 \cdot 3^x + 9 = 0$. Пусть $t = 3^x$. $9t^2 - 82t + 9 = 0$. Корни $t = 9$ и $t = 1/9$. Значит, $3^x = 9 \Rightarrow x=2$ и $3^x = 1/9 \Rightarrow x=-2$. 2. Метод интервалов поможет решить неравенство, подставив контрольные точки.