Пусть BD – высота треугольника ABC, точка E – середина BC. Вычислить радиус круга, описанного около треугольника BDE, если AB = 30см, BC = 26см, AC = 28см.

Для решения задачи выполним следующие шаги: 1. Найдем высоту $BD$ треугольника $ABC$ со сторонами $AB=30$, $BC=26$, $AC=28$. Пусть $AD = x$, тогда $DC = 28 - x$. Из прямоугольных треугольников $ABD$ и $CBD$ по теореме Пифагора: $BD^2 = AB^2 - AD^2 = 30^2 - x^2 = 900 - x^2$ $BD^2 = BC^2 - DC^2 = 26^2 - (28 - x)^2 = 676 - (784 - 56x + x^2) = 676 - 784 + 56x - x^2 = -108 + 56x - x^2$ Приравняем выражения для $BD^2$: $900 - x^2 = -108 + 56x - x^2$ $56x = 1008$ $x = 18$ ($AD = 18$) $BD^2 = 900 - 18^2 = 900 - 324 = 576$ $BD = 24$ см. 2. Рассмотрим треугольник $BDE$. Это прямоугольный треугольник, так как $BD$ — высота ($BD \perp AC$, значит $BD \perp DE$). Точка $E$ — середина $BC$, значит $BE = BC / 2 = 26 / 2 = 13$ см. Радиус $R$ описанной окружности около прямоугольного треугольника равен половине его гипотенузы. Гипотенуза — сторона $BE$ (так как угол $\angle BED = 90^\circ$): $R = BE / 2$. *Корректировка:* Угол $\angle BDE = 90^\circ$, значит, $BE$ — гипотенуза треугольника $BDE$. $R = BE / 2 = 13 / 2 = 6,5$ см. **Ответ: 6,5 см.**