Найти предел суммы lim (1/n^2 + 2/n^2 + ... + n-1/n^2), представляя ее как интегральную сумму соответствующего интеграла.

Question

Вопрос:

Найти предел суммы lim (1/n^2 + 2/n^2 + ... + n-1/n^2), представляя ее как интегральную сумму соответствующего интеграла.

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Для вычисления предела представим сумму как интегральную: $S_n = \frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2} = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n-1} \frac{k}{n}$ Это выражение представляет собой интегральную сумму для функции $f(x) = x$ на отрезке $[0, 1]$ с разбиением на $n$ частей (где $x_k = \frac{k}{n}$, $\Delta x = \frac{1}{n}$). Переходя к пределу при $n \to \infty$: $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n-1} \frac{k}{n} = \int_0^1 x \, dx = \left. \frac{x^2}{2} \right|_0^1 = \frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{2}$ Ответ: 0,5. График функции $y = x$, ограничивающей площадь, которую мы вычисляли: :::div .chart-container @chart-1:::

Найти предел суммы lim (1/n^2 + 2/n^2 + ... + n-1/n^2), представляя ее как интегральную сумму соответствующего интеграла.

Ответ ассистента

Другие решения