Найти длину кривой, заданной параметрическими уравнениями x(t) = cos^3 t, y(t) = sin^3 t, 0 <= t <= pi/2.

Для нахождения длины дуги кривой, заданной параметрически уравнениями $x(t)$ и $y(t)$ на отрезке $[a, b]$, используется формула: $L = \int_a^b \sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2} dt$ 1. Найдем производные функций: $x'(t) = (\cos^3 t)' = 3 \cos^2 t \cdot (-\sin t) = -3 \cos^2 t \sin t$ $y'(t) = (\sin^3 t)' = 3 \sin^2 t \cdot \cos t = 3 \sin^2 t \cos t$ 2. Вычислим сумму квадратов производных: $(x'(t))^2 + (y'(t))^2 = (-3 \cos^2 t \sin t)^2 + (3 \sin^2 t \cos t)^2$ $= 9 \cos^4 t \sin^2 t + 9 \sin^4 t \cos^2 t$ $= 9 \sin^2 t \cos^2 t (\cos^2 t + \sin^2 t)$ Так как $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$, выражение упрощается: $9 \sin^2 t \cos^2 t = (3 \sin t \cos t)^2 = (\frac{3}{2} \sin 2t)^2$ 3. Вычислим интеграл: $L = \int_0^{\pi/2} \sqrt{(3 \sin t \cos t)^2} dt = \int_0^{\pi/2} 3 \sin t \cos t dt$ Так как на отрезке $[0, \pi/2]$ функции $\sin t$ и $\cos t$ неотрицательны, модуль можно опустить. $L = \frac{3}{2} \int_0^{\pi/2} \sin 2t dt = \frac{3}{2} [-\frac{1}{2} \cos 2t]_0^{\pi/2}$ $L = -\frac{3}{4} (\cos \pi - \cos 0) = -\frac{3}{4} (-1 - 1) = -\frac{3}{4} \cdot (-2) = \frac{6}{4} = 1.5$ **Ответ: 1.5**