1. Вычислить: ∫(5x^5 - cos x - 1) dx

Привет! Давай решим задания из твоей работы. ### 1. Вычислить: **а) $\int (5x^5 - \cos x - 1) dx$** Используем правило интегрирования суммы и степенную формулу $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$: $\int 5x^5 dx - \int \cos x dx - \int 1 dx = 5 \cdot \frac{x^6}{6} - \sin x - x + C = \frac{5}{6}x^6 - \sin x - x + C$ **б) $\int (\sqrt{x} - 2x + \sqrt{x^3}) dx$** Представим корни как степени: $\int (x^{1/2} - 2x + x^{3/2}) dx$ $= \frac{x^{3/2}}{3/2} - 2 \cdot \frac{x^2}{2} + \frac{x^{5/2}}{5/2} + C$ $= \frac{2}{3}x\sqrt{x} - x^2 + \frac{2}{5}x^2\sqrt{x} + C$ ### 2. Решить уравнение: **а) $\log_4 (2x + 3) = 3$** По определению логарифма: $2x + 3 = 4^3$ $2x + 3 = 64$ $2x = 61$ $x = 30,5$ **б) $\log_{1/4} (7x - 5) = -2$** $7x - 5 = (1/4)^{-2}$ $7x - 5 = 4^2$ $7x - 5 = 16$ $7x = 21$ $x = 3$ **в) $\log_7 (x^2 - 3x + 3) = 0$** $x^2 - 3x + 3 = 7^0$ $x^2 - 3x + 3 = 1$ $x^2 - 3x + 2 = 0$ По теореме Виета: $x_1 = 1, x_2 = 2$ ### 3. Решить неравенство: **а) $4^{4x+3} > (1/64)^{x+1}$** Приведем к основанию 4: $(1/64) = 4^{-3}$ $4^{4x+3} > (4^{-3})^{x+1}$ $4^{4x+3} > 4^{-3x-3}$ Так как основание больше 1, переходим к показателям: $4x + 3 > -3x - 3$ $7x > -6$ $x > -6/7$ **б) $2^{x^2} \le 4 \cdot 2^x$** $2^{x^2} \le 2^2 \cdot 2^x$ $2^{x^2} \le 2^{x+2}$ $x^2 \le x + 2$ $x^2 - x - 2 \le 0$ Найдем корни уравнения $x^2 - x - 2 = 0$: $(x-2)(x+1) = 0$, $x_1 = 2, x_2 = -1$ Решение неравенства (парабола ветвями вверх, область $\le 0$ между корнями): $x \in [-1; 2]$