95.Найти экстремумы функции: f(x) = 3x^4 + 12x^3 - 60x^2 + 27

Для поиска экстремумов функции $f(x) = 3x^4 + 12x^3 - 60x^2 + 27$ нужно найти её производную и приравнять её к нулю. 1. Находим производную: $f'(x) = (3x^4)' + (12x^3)' - (60x^2)' + (27)'$ $f'(x) = 12x^3 + 36x^2 - 120x$ 2. Приравниваем производную к нулю: $12x^3 + 36x^2 - 120x = 0$ Разделим всё уравнение на 12: $x^3 + 3x^2 - 10x = 0$ $x(x^2 + 3x - 10) = 0$ 3. Находим корни уравнения: Первый корень: $x_1 = 0$ Для квадратного уравнения $x^2 + 3x - 10 = 0$ воспользуемся теоремой Виета или дискриминантом: $D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49$ $x = \frac{-3 \pm 7}{2}$ $x_2 = 2, x_3 = -5$ 4. Определяем характер экстремумов (через знаки производной на интервалах): Функция $f'(x) = 12x(x-2)(x+5)$. - На интервале $(-\infty, -5)$ производная $f'(x) < 0$ (функция убывает). - На интервале $(-5, 0)$ производная $f'(x) > 0$ (функция возрастает). Значит, в $x = -5$ точка минимума. - На интервале $(0, 2)$ производная $f'(x) < 0$ (функция убывает). Значит, в $x = 0$ точка максимума. - На интервале $(2, +\infty)$ производная $f'(x) > 0$ (функция возрастает). Значит, в $x = 2$ точка минимума. 5. Вычисляем значения функции в точках экстремума: $f(-5) = 3(-5)^4 + 12(-5)^3 - 60(-5)^2 + 27 = 1875 - 1500 - 1500 + 27 = -1098$ $f(0) = 3(0)^4 + 12(0)^3 - 60(0)^2 + 27 = 27$ $f(2) = 3(2)^4 + 12(2)^3 - 60(2)^2 + 27 = 48 + 96 - 240 + 27 = -69$ **Ответ:** Точка максимума: $(0; 27)$ Точки минимума: $(-5; -1098)$ и $(2; -69)$