Задание 5. Решите систему уравнений.

1) $\begin{cases} (x+6y)^2=7y \\ (x+6y)^2=7x \end{cases}$ Так как левые части равны, то $7y=7x$, откуда $x=y$. Подставим в первое уравнение: $(x+6x)^2=7x \Rightarrow (7x)^2=7x \Rightarrow 49x^2-7x=0 \Rightarrow 7x(7x-1)=0$. $x_1=0, y_1=0$; $x_2=\frac{1}{7}, y_2=\frac{1}{7}$. **Ответ: (0; 0), (1/7; 1/7).** 2) $\begin{cases} y-2x=6 \\ x^2-xy+y^2=12 \end{cases}$ Выразим $y=2x+6$ и подставим во второе: $x^2-x(2x+6)+(2x+6)^2=12 \Rightarrow x^2-2x^2-6x+4x^2+24x+36-12=0 \Rightarrow 3x^2+18x+24=0$. Делим на 3: $x^2+6x+8=0$. По теореме Виета: $x_1=-2, x_2=-4$. $y_1=2(-2)+6=2$; $y_2=2(-4)+6=-2$. **Ответ: (-2; 2), (-4; -2).** 3) $\begin{cases} (2x+6y)^2=8y \\ (2x+6y)^2=8x \end{cases}$ Аналогично первому: $8y=8x \Rightarrow x=y$. $(2x+6x)^2=8x \Rightarrow (8x)^2=8x \Rightarrow 64x^2-8x=0 \Rightarrow 8x(8x-1)=0$. $x_1=0, y_1=0$; $x_2=\frac{1}{8}, y_2=\frac{1}{8}$. **Ответ: (0; 0), (1/8; 1/8).** 4) $\begin{cases} 3x-y=10 \\ x^2+xy-y^2=20 \end{cases}$ Выразим $y=3x-10$: $x^2+x(3x-10)-(3x-10)^2=20 \Rightarrow x^2+3x^2-10x-(9x^2-60x+100)-20=0$. $4x^2-10x-9x^2+60x-100-20=0 \Rightarrow -5x^2+50x-120=0$. Делим на -5: $x^2-10x+24=0$. По теореме Виета: $x_1=4, x_2=6$. $y_1=3(4)-10=2$; $y_2=3(6)-10=8$. **Ответ: (4; 2), (6; 8).** 5) $\begin{cases} (2x+y)^2=3y \\ (2x+y)^2=3x \end{cases}$ Аналогично: $3y=3x \Rightarrow x=y$. $(2x+x)^2=3x \Rightarrow (3x)^2=3x \Rightarrow 9x^2-3x=0 \Rightarrow 3x(3x-1)=0$. $x_1=0, y_1=0$; $x_2=\frac{1}{3}, y_2=\frac{1}{3}$. **Ответ: (0; 0), (1/3; 1/3).** 6) $\begin{cases} y-x=-5 \\ x^2-2xy-y^2=17 \end{cases}$ Выразим $y=x-5$: $x^2-2x(x-5)-(x-5)^2=17 \Rightarrow x^2-2x^2+10x-(x^2-10x+25)-17=0$. $-x^2+10x-x^2+10x-25-17=0 \Rightarrow -2x^2+20x-42=0$. Делим на -2: $x^2-10x+21=0$. По теореме Виета: $x_1=3, x_2=7$. $y_1=3-5=-2$; $y_2=7-5=2$. **Ответ: (3; -2), (7; 2).**