Задание 1. За какое время Марс, находящийся от Солнца примерно в полтора раза, чем Земля, совершает полный оборот вокруг Солнца?

Для решения задач по астрономии используется третий закон Кеплера в обобщенной форме: $\frac{T_1^2}{T_2^2} = \frac{a_1^3}{a_2^3}$ (для планет вокруг Солнца) или $\frac{T^2}{a^3} = \frac{4\pi^2}{GM}$ (для спутников вокруг планеты). **Задание 1** Используем третий закон Кеплера: $\frac{T_{Марса}^2}{T_{Земли}^2} = \frac{a_{Марса}^3}{a_{Земли}^3}$. Известно, что $a_{Марса} = 1,5 \cdot a_{Земли}$, а $T_{Земли} = 1$ год. $T_{Марса}^2 = 1^2 \cdot (1,5)^3 = 3,375$. $T_{Марса} = \sqrt{3,375} \approx 1,84$ года. **Задание 2** Для спутника Ио: $M = \frac{4\pi^2 a^3}{G T^2}$. Сравним с Землей и Луной, где $M_{Земли} = \frac{4\pi^2 a_{Луны}^3}{G T_{Луны}^2}$. Отношение масс Юпитера и Земли равно: $\frac{M_{Юп}}{M_{Земли}} = \left(\frac{a_{Ио}}{a_{Луны}}\right)^3 \cdot \left(\frac{T_{Луны}}{T_{Ио}}\right)^2$. Данные для Луны: $a = 384$ тыс. км, $T = 27,3$ сут. Данные для Ио: $a = 422$ тыс. км, $T = 1,77$ сут. $\frac{M_{Юп}}{M_{Земли}} = \left(\frac{422}{384}\right)^3 \cdot \left(\frac{27,3}{1,77}\right)^2 \approx 1,33 \cdot 238 = 317$ масс Земли. **Задание 3** Задача требует определения большой полуоси, но не указан период обращения. **Недостаточно данных.** **Задание 4** Используем отношение масс: $\frac{M_{Урана}}{M_{Земли}} = \left(\frac{a_{Титании}}{a_{Луны}}\right)^3 \cdot \left(\frac{T_{Луны}}{T_{Титании}}\right)^2$. Данные: $a_{Титании} = 438$ тыс. км, $T_{Титании} = 8,7$ сут. Данные Луны: $a = 384$ тыс. км, $T = 27,3$ сут. $\frac{M_{Урана}}{M_{Земли}} = \left(\frac{438}{384}\right)^3 \cdot \left(\frac{27,3}{8,7}\right)^2 \approx 1,48 \cdot 9,84 \approx 14,5$ масс Земли. **Задание 5** Это повторение Задания 1. Год на Марсе составляет примерно 1,88 земных года (более точное значение). **Задание 6** Формула связи периодов: $\frac{1}{T_{синод}} = \frac{1}{T_{сидер}} - \frac{1}{T_{Земли}}$ (для внешних планет). $\frac{1}{500} = \frac{1}{T_{сидер}} - \frac{1}{365}$. $\frac{1}{T_{сидер}} = \frac{1}{500} + \frac{1}{365} \approx 0,002 + 0,0027 = 0,0047$. $T_{сидер} \approx 212$ суток. **Задание 7** Используем третий закон Кеплера ($T^2 = a^3$, где T в годах, a в а.е.): $T^2 = (2,4)^3 = 13,824$. $T = \sqrt{13,824} \approx 3,72$ года. **Задание 8** Третий закон Кеплера: $T^2 = a^3$. Для Юпитера $T \approx 11,86$ лет. $a = \sqrt[3]{T^2} = \sqrt[3]{11,86^2} = \sqrt[3]{140,66} \approx 5,2$ а.е.