Найдите значение производной функции f(x) = 2x^2 + 4x + √x при x = 1.

Вот решения для заданий: 1. Найдем производную: $f'(x) = (2x^2 + 4x + extstyle?rac{1}{2 extstyle?rac{}{ extstyle?rac{}{}}x})' = 4x + 4 + extstyle?rac{1}{2 extstyle?rac{}{ extstyle?rac{}{}}x}$. При $x=1$: $f'(1) = 4(1) + 4 + extstyle?rac{1}{2 extstyle?rac{}{ extstyle?rac{}{}}1} = 8 + 0.5 = 8.5$. 2. Функция $f(x)$ возрастает там, где $f'(x) > 0$. По графику $f'(x)$ выше оси $OX$ на интервалах $(-1; 1)$ и $(9; 10)$. Целые точки в интервале $(-1; 1)$: $0$. Целые точки в интервале $(9; 10)$: нет. Сумма целых точек: $0$. 3. Найдем производную: $f'(x) = 6x^2 - 10x$. Приравняем к нулю: $2x(3x-5) = 0$. $x_1 = 0$, $x_2 = 5/3$. При переходе через $x=0$ производная меняет знак с $+$ на $-$, значит, это точка максимума. 4. Найдем производную: $y' = 9 - 6x - 3x^2 = -3(x^2 + 2x - 3) = -3(x+3)(x-1)$. Критические точки: $x=1$, $x=-3$. На отрезке $[0; 4]$ лежит только $x=1$. $y(0) = 2 + 0 - 0 - 0 = 2$ $y(1) = 2 + 9 - 3 - 1 = 7$ $y(4) = 2 + 36 - 48 - 64 = -74$. Наименьшее значение: $-74$. 5. Вектор $\vec{c} = -2\vec{a} + 4\vec{b} = -2\{0.5; -8; 0.5\} + 4\{2; -9; 7\} = \{-1; 16; -1\} + \{8; -36; 28\} = \{7; -20; 27\}$. Скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b} = (0.5 \cdot 2) + (-8 \cdot -9) + (0.5 \cdot 7) = 1 + 72 + 3.5 = 76.5$. 6. $\int_{0}^{\pi/3} 2\sin x \, dx = 2[-\cos x]_0^{\pi/3} = -2(\cos(\pi/3) - \cos(0)) = -2(0.5 - 1) = -2(-0.5) = 1$. 7. Площадь $S = \int_{0}^{2} x^3 \, dx = [\frac{x^4}{4}]_0^2 = \frac{16}{4} - 0 = 4$.