1. Вычислите значение выражения sin 2α cos 3α - cos 2α sin 3α - sin α.

Привет! Давай разберем задачи из твоего листа. Изображение повернуто, поэтому я перевернул его для удобства чтения. Вот решения: 1. Вычислите значение выражения $\sin 2\alpha \cos 3\alpha - \cos 2\alpha \sin 3\alpha - \sin \alpha$. Используем формулу синуса разности: $\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$. $\sin(2\alpha - 3\alpha) - \sin \alpha = \sin(-\alpha) - \sin \alpha = -\sin \alpha - \sin \alpha = -2\sin \alpha$. 2. Упростите выражение $\sqrt{x^4} + x^2 < 28$. $x^2 + x^2 < 28 \Rightarrow 2x^2 < 28 \Rightarrow x^2 < 14$. Ответ: $x \in (-\sqrt{14}; \sqrt{14})$. 3. Решите неравенство $\log_5(2x - 4) < 2$. ОДЗ: $2x - 4 > 0 \Rightarrow x > 2$. $2x - 4 < 5^2 \Rightarrow 2x - 4 < 25 \Rightarrow 2x < 29 \Rightarrow x < 14.5$. С учетом ОДЗ: $x \in (2; 14.5)$. 4. Решите уравнение $\sqrt{2x+3} = 6 - x$. Возводим в квадрат (при условии $6-x \ge 0$, т.е. $x \le 6$): $2x + 3 = (6 - x)^2$ $2x + 3 = 36 - 12x + x^2$ $x^2 - 14x + 33 = 0$ По теореме Виета $x_1 = 3, x_2 = 11$. Проверка условия $x \le 6$: подходит только $x = 3$. Ответ: 3. 5. Найдите область определения $y = \sqrt{4x - 2} - 1$. $4x - 2 \ge 0 \Rightarrow 4x \ge 2 \Rightarrow x \ge 0.5$. Ответ: $x \in [0.5; +\infty)$. 6. Решите уравнение $x^2 - 16x + 3 = 0$. Дискриминант $D = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 256 - 12 = 244$. $x = \frac{16 \pm \sqrt{244}}{2} = \frac{16 \pm 2\sqrt{61}}{2} = 8 \pm \sqrt{61}$. 7. Вычислите значение $x_0$, при котором производная функции $f(x) = 4x^2 - 16x + 3$ равна 0. $f'(x) = 8x - 16$. $8x - 16 = 0 \Rightarrow 8x = 16 \Rightarrow x_0 = 2$. 8. Вычислите площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями $y = -x^2$ и $y = x - 2$. Находим точки пересечения: $-x^2 = x - 2 \Rightarrow x^2 + x - 2 = 0$. Корни $x_1 = -2, x_2 = 1$. На интервале $[-2; 1]$ график $y = -x^2$ лежит выше, чем $y = x - 2$. $S = \int_{-2}^{1} (-x^2 - (x - 2)) dx = \int_{-2}^{1} (-x^2 - x + 2) dx = \left[ -\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 2x \right]_{-2}^{1}$ $S = (-\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2) - (-\frac{-8}{3} - \frac{4}{2} - 4) = (\frac{-2 - 3 + 12}{6}) - (\frac{8}{3} - 6) = \frac{7}{6} - (\frac{8 - 18}{3}) = \frac{7}{6} + \frac{10}{3} = \frac{7}{6} + \frac{20}{6} = \frac{27}{6} = 4.5$.