4. Решите неравенство: 1) 2^{3x+6} <= (1/32)^{x-1}; 2) (8 - x)(2x + 6) <= 0; 3) log_5(3x+1) < 2.

Решение неравенств из номера 4: 1) $2^{3x+6} \le (\frac{1}{32})^{x-1}$ Представим обе части как степени с основанием 2: $2^{3x+6} \le (2^{-5})^{x-1}$ $2^{3x+6} \le 2^{-5x+5}$ Так как основание $2 > 1$, знак неравенства сохраняется: $3x + 6 \le -5x + 5$ $8x \le -1$ $x \le -\frac{1}{8}$ **Ответ: $x \in (-\infty; -0,125]$** 2) $(8 - x)(2x + 6) \le 0$ Найдем нули функции: $8-x=0 \Rightarrow x=8$ и $2x+6=0 \Rightarrow x=-3$. Применим метод интервалов на числовой прямой: - На промежутке $(-\infty; -3]$ берем $x=-4$: $(8 - (-4))(2(-4)+6) = 12 \cdot (-2) = -24 < 0$ (не подходит, нужно $\le 0$) - На промежутке $[-3; 8]$ берем $x=0$: $(8-0)(0+6) = 48 > 0$ (подходит) - На промежутке $[8; +\infty)$ берем $x=9$: $(8-9)(2(9)+6) = -1 \cdot 24 = -24 < 0$ (не подходит) *Исправление метода:* $(8-x)(2x+6) \le 0$ $\Rightarrow -(x-8) \cdot 2(x+3) \le 0$ $\Rightarrow -2(x-8)(x+3) \le 0$ $\Rightarrow (x-8)(x+3) \ge 0$. Знаки: $+$ (от $-\infty$ до $-3$), $-$ (от $-3$ до $8$), $+$ (от $8$ до $+\infty$). Нам нужно $\ge 0$. **Ответ: $x \in (-\infty; -3] \cup [8; +\infty)$** 3) $\log_5(3x+1) < 2$ Учитывая ОДЗ: $3x+1 > 0 \Rightarrow x > -\frac{1}{3}$. Решаем неравенство: $3x+1 < 5^2$ $3x+1 < 25$ $3x < 24$ $x < 8$ С учетом ОДЗ: **Ответ: $x \in (-1/3; 8)$**