Решите уравнение log8 (5x + 47) = 3

Привет! Давай решим задания из твоего варианта по математике. 1. Решите уравнение $\log_8 (5x + 47) = 3$ По определению логарифма: $5x + 47 = 8^3 \Rightarrow 5x + 47 = 512 \Rightarrow 5x = 465 \Rightarrow x = 93$. (Проверка: $5(93) + 47 = 465 + 47 = 512 = 8^3$, верно). **Ответ: 93.** 2. Найдите значение выражения $\frac{24(\sin^2 17^\circ - \cos^2 17^\circ)}{\cos 34^\circ}$ Используем формулу косинуса двойного угла: $\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$. Значит, $\sin^2 17^\circ - \cos^2 17^\circ = -(\cos^2 17^\circ - \sin^2 17^\circ) = -\cos(2 \cdot 17^\circ) = -\cos 34^\circ$. Подставим: $\frac{24 \cdot (-\cos 34^\circ)}{\cos 34^\circ} = -24$. **Ответ: -24.** 3. Найдите область определения выражения $\frac{\sqrt{-5x^2 + 9x + 18}}{(x + 1)(7 - x)}$ Условия: 1) $-5x^2 + 9x + 18 \geq 0 \Rightarrow 5x^2 - 9x - 18 \leq 0$. Корни уравнения $5x^2 - 9x - 18 = 0$: $D = 81 - 4(5)(-18) = 81 + 360 = 441 = 21^2$. $x = \frac{9 \pm 21}{10}$, $x_1 = 3, x_2 = -1.2$. Решение: $x \in [-1.2, 3]$. 2) Знаменатель не равен 0: $x \neq -1$ и $x \neq 7$. Пересечение: $x \in [-1.2, -1) \cup (-1, 3]$. **Ответ: $[-1.2, -1) \cup (-1, 3]$.** 4. Найдите точку максимума функции $y = 2x^2 - 13x + 9 \ln x + 8$ Найдем производную: $y' = 4x - 13 + \frac{9}{x}$. Приравняем к 0: $\frac{4x^2 - 13x + 9}{x} = 0 \Rightarrow 4x^2 - 13x + 9 = 0$. $D = 169 - 144 = 25$. $x = \frac{13 \pm 5}{8}$. $x_1 = 2.25, x_2 = 1$. Методом интервалов для $y'$ на $(0, +\infty)$: при $x=1.5$ $y' > 0$, при $x=2$ $y' < 0$ (значит в $2.25$ максимум), при $x=0.5$ $y' > 0$ (значит в $1$ минимум). Точка максимума: $2.25$. **Ответ: 2.25.** 5. Решите уравнение $\cos 2x = \sin(x + \frac{\pi}{2})$ $\sin(x + \frac{\pi}{2}) = \cos x$. Уравнение: $\cos 2x = \cos x \Rightarrow 2\cos^2 x - 1 - \cos x = 0$. Пусть $t = \cos x$ ($|t| \leq 1$): $2t^2 - t - 1 = 0$. $D = 1 - 4(2)(-1) = 9$. $t = \frac{1 \pm 3}{4}$, $t_1 = 1, t_2 = -0.5$. 1) $\cos x = 1 \Rightarrow x = 2\pi n$. 2) $\cos x = -0.5 \Rightarrow x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$. **Ответ: $2\pi n, \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$.** 6. Найдите меньший корень уравнения $2^{2x} - 6 \cdot 2^x + 8 = 0$ Пусть $t = 2^x > 0$. Тогда $t^2 - 6t + 8 = 0$. По теореме Виета $t_1 = 2, t_2 = 4$. 1) $2^x = 2^1 \Rightarrow x = 1$. 2) $2^x = 2^2 \Rightarrow x = 2$. Меньший корень равен 1. **Ответ: 1.** 7. Решите неравенство $2^{x^2} \leq 64 \cdot 2^x$ $2^{x^2} \leq 2^6 \cdot 2^x \Rightarrow 2^{x^2} \leq 2^{x+6}$. Так как основание $2 > 1$, то $x^2 \leq x + 6 \Rightarrow x^2 - x - 6 \leq 0$. Корни $x^2 - x - 6 = 0$: $D = 1 + 24 = 25$, $x = \frac{1 \pm 5}{2}$, $x_1 = 3, x_2 = -2$. Решение: $x \in [-2, 3]$. **Ответ: $[-2, 3]$.** 8. Решите уравнение $\sqrt{x + 1} = x - 1$ Возведем в квадрат: $x + 1 = (x - 1)^2 \Rightarrow x + 1 = x^2 - 2x + 1 \Rightarrow x^2 - 3x = 0 \Rightarrow x(x - 3) = 0$. Корни: $x = 0, x = 3$. Проверка: $x=0: \sqrt{1} = 0 - 1 \Rightarrow 1 = -1$ (ложно). $x=3: \sqrt{4} = 3 - 1 \Rightarrow 2 = 2$ (верно). **Ответ: 3.** 9. В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки 5 и 12. Найди катеты. Пусть гипотенуза $c = 5 + 12 = 17$. Катеты $a = 5+r, b = 12+r$ (где $r$ - радиус вписанной окружности). По т. Пифагора: $(5+r)^2 + (12+r)^2 = 17^2$. $25 + 10r + r^2 + 144 + 24r + r^2 = 289 \Rightarrow 2r^2 + 34r - 120 = 0 \Rightarrow r^2 + 17r - 60 = 0$. $D = 289 - 4(-60) = 529 = 23^2$. $r = \frac{-17 + 23}{2} = 3$. Катеты: $5+3 = 8$ и $12+3 = 15$. **Ответ: 8, 15.** 10. Вращение прямоугольного треугольника с гипотенузой 25 и высотой к ней 12. При вращении образуются два конуса с общим основанием. Радиус основания $R = h = 12$. Гипотенуза делится высотой на отрезки $x$ и $25-x$. По свойству высоты: $h^2 = x(25-x) \Rightarrow 144 = 25x - x^2 \Rightarrow x^2 - 25x + 144 = 0$. Корни 9 и 16. Образующие конусов — катеты: $a = \sqrt{12^2 + 9^2} = 15$, $b = \sqrt{12^2 + 16^2} = 20$. Площадь поверхности: $S = S_{бок1} + S_{бок2} = \pi R a + \pi R b = \pi \cdot 12 \cdot 15 + \pi \cdot 12 \cdot 20 = 180\pi + 240\pi = 420\pi$. **Ответ: $420\pi$.**