А1. Найдите область определения функции y = sqrt(x^2 - x - 6)

Привет! Давай разберем задания из твоего теста. ### Часть А A1. $x^2-x-6 \ge 0 \Rightarrow (x-3)(x+2) \ge 0$. Ответ: $x \in (-\infty; -2] \cup [3; +\infty)$. A2. $8^{1/3} \cdot 2^{1/4} = (2^3)^{1/3} \cdot 2^{1/4} = 2^1 \cdot 2^{1/4} = 2^{5/4}$. A3. $\log_6 180 - \log_6 5 = \log_6(180/5) = \log_6 36 = 2$. A4. $16 / 9^{\log_3 4} = 16 / (3^2)^{\log_3 4} = 16 / (3^{\log_3 4})^2 = 16 / 4^2 = 16/16 = 1$. A5. $\log_2(4+x) = 6 \Rightarrow 4+x = 2^6 \Rightarrow 4+x=64 \Rightarrow x=60$. A6. $x^2-5y-2xy-x^2 = -5y-2xy$. Подставим $x=-1,5$ и $y=4$: $-5(4) - 2(-1,5)(4) = -20 + 12 = -8$. A7. $\sqrt{3}(\frac{\sqrt{3}}{2}) - 4(\frac{\sqrt{3}}{2})^2 - \frac{\sqrt{3}}{2}(\sqrt{3}) = \frac{3}{2} - 4(\frac{3}{4}) - \frac{3}{2} = 1,5 - 3 - 1,5 = -3$. A8. $(x^3+x^2+6)' = 3x^2+2x$. ### Часть B B1. Т.к. $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$ (3-я четверть), $\cos \alpha < 0$. $\cos^2 \alpha = 1 - (-\frac{35}{37})^2 = 1 - \frac{1225}{1369} = \frac{144}{1369} \Rightarrow \cos \alpha = -\frac{12}{37}$. B2. $y'=2x+12$. Критическая точка $x=-6$. Убывает на $(-\infty; -6]$, возрастает на $[-6; +\infty)$. B3. $\cos 2x = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow 2x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k \Rightarrow x = \pm \frac{\pi}{8} + \pi k$. B4. $S = \int_4^5 (x-3) dx = [\frac{x^2}{2} - 3x]_4^5 = (12,5 - 15) - (8 - 12) = -2,5 + 4 = 1,5$. ### Часть C C1. $y' = 3x^2+12x+9 = 3(x+1)(x+3)$. Точки экстремума: $x=-3$ (максимум, $y=0$), $x=-1$ (минимум, $y=-4$). График проходит через $(-3; 0)$, $(-1; -4)$, $(0;0)$. C2. Половина диагонали основания: $\sqrt{5^2-3^2} = 4$. Диагональ $d=8$. Сторона основания $a = d/\sqrt{2} = 8/\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$. $V = \frac{1}{3} a^2 H = \frac{1}{3} (32) \cdot 3 = 32$. C3. $\sqrt{2-x}(x^2-16)=0$. Корни: $2-x=0 \Rightarrow x=2$; $x^2=16 \Rightarrow x=4, x=-4$. Область определения $x \le 2$, поэтому $x=4$ не подходит. Ответ: $-4; 2$.