А1. Найдите область определения функции y = корень четвертой степени из (x^2-3x-4)

Часть А А1. Область определения функции $y = \sqrt[4]{x^2 - 3x - 4}$. $x^2 - 3x - 4 \ge 0$. Корни уравнения $x^2 - 3x - 4 = 0$ равны $x_1 = -1, x_2 = 4$. Решение неравенства: $x \in (-\infty; -1] \cup [4; +\infty)$. А2. Упростите $8^{1/3} \cdot 4^{1/5} = (2^3)^{1/3} \cdot (2^2)^{1/5} = 2^1 \cdot 2^{2/5} = 2^{1 + 0,4} = 2^{1,4} = 2^{7/5} = \sqrt[5]{128} = 2\sqrt[5]{4}$. А3. $\log_4 2 + \log_4 8 = \log_4 (2 \cdot 8) = \log_4 16 = 2$. А4. $81 / 10^{\lg 3} = 81 / 3 = 27$. А5. $\log_2 (3+x) = 6 \Rightarrow 3+x = 2^6 \Rightarrow 3+x = 64 \Rightarrow x = 61$. А6. $3x - x(y+2) + y(x-4) + y = 3x - xy - 2x + xy - 4y + y = x - 3y$. При $x = 1,2$ и $y = 1/3$: $1,2 - 3 \cdot (1/3) = 1,2 - 1 = 0,2$. А7. $5\sin(\pi/4) + 3\text{tg}(\pi/4) - 5\cos(\pi/4) - 10\text{ctg}(\pi/4) = 5(\sqrt{2}/2) + 3(1) - 5(\sqrt{2}/2) - 10(1) = 3 - 10 = -7$. А8. $y' = (5x^4 + 2x^3)' = 20x^3 + 6x^2$. Часть B В1. $\sin \alpha = -20/29$, $\pi < \alpha < 3\pi/2$ (III четверть, $\cos \alpha < 0$). $\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - 400/841 = 441/841$. $\cos \alpha = -\sqrt{441/841} = -21/29$. В2. $y = 5x^2 - 3x - 7$. $y' = 10x - 3$. $10x - 3 = 0 \Rightarrow x = 0,3$. $y' > 0$ при $x > 0,3$ (возрастает); $y' < 0$ при $x < 0,3$ (убывает). В3. $2\cos 3x - 1 = 0 \Rightarrow \cos 3x = 1/2$. $3x = \pm \pi/3 + 2\pi n, n \in Z \Rightarrow x = \pm \pi/9 + 2\pi n / 3, n \in Z$. В4. $\int_0^3 (x+3) dx = \left. (x^2/2 + 3x) \right|_0^3 = (4,5 + 9) - 0 = 13,5$. Часть C С1. $y = x^2 + x^3$. $y' = 2x + 3x^2 = x(2 + 3x)$. Критические точки: $x=0, x=-2/3$. $y(-2/3) = 4/9 - 8/27 = 4/27$ (max); $y(0) = 0$ (min). Функция возрастает на $(-\infty; -2/3] \cup [0; +\infty)$, убывает на $[-2/3; 0]$. С2. Основание - квадрат со стороной $a$. Диагональ основания $d = a\sqrt{2}$. Высота $H = 10$. Угол между диагональю параллелепипеда и основанием $45^{\circ}$. $H / d = \text{tg} 45^{\circ} = 1 \Rightarrow H = d = 10$. $a\sqrt{2} = 10 \Rightarrow a = 10/\sqrt{2} = 5\sqrt{2}$. $V = S_{base} \cdot H = a^2 \cdot H = (5\sqrt{2})^2 \cdot 10 = 50 \cdot 10 = 500$ см³. С3. $4x\sqrt{x+3} + x^2\sqrt{x+3} = 0 \Rightarrow \sqrt{x+3}(4x + x^2) = 0$. 1) $\sqrt{x+3} = 0 \Rightarrow x = -3$. 2) $x^2 + 4x = 0 \Rightarrow x(x+4) = 0 \Rightarrow x=0$ или $x=-4$. Проверка ОДЗ ($x+3 \ge 0 \Rightarrow x \ge -3$): $x=-4$ не подходит. Ответ: $x = -3, x = 0$.