Найдена контрольная работа с задачами по алгебре и геометрии.

Привет! Давай разберем твою контрольную работу по математике. ### Часть А **А1.** Область определения функции $y = \sqrt{x^2 - x + 1}$. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x^2 - x + 1 \ge 0$. Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$. Так как $D < 0$ и коэффициент при $x^2$ положителен, выражение всегда больше нуля. **Ответ:** $(-\infty; +\infty)$. **А2.** Упростите $16^{1/2 \cdot 2^{1/3}}$. Здесь лучше переписать основание: $16 = (2^4)$. Тогда $16^{1/2} = (2^4)^{1/2} = 2^2 = 4$. В условии может быть опечатка в записи степени. Если $16^{1/2} = 4$, то $4^{2^{1/3}}$. **А3.** Вычислите $\log_4 48 - \log_4 3 = \log_4 (48/3) = \log_4 16 = 2$. **Ответ:** 2. **А4.** Найдите значение $56 / 6^{\log_6 7} = 56 / 7 = 8$. **Ответ:** 8. **А5.** $\log_2 (7 + x) = 8 \Rightarrow 7 + x = 2^8 \Rightarrow 7 + x = 256 \Rightarrow x = 249$. **Ответ:** 249. **А6.** $m^2 + 2mn + m(n - m) + 1 = m^2 + 2mn + mn - m^2 + 1 = 3mn + 1$. Подставим $m = 1/4$, $n = -1/2$: $3 \cdot (1/4) \cdot (-1/2) + 1 = -3/8 + 1 = 5/8 = 0{,}625$. **Ответ:** 0,625. **А7.** $2 \cdot \text{tg}^2(\pi/3) - \text{ctg}^2(\pi/6) - \sin(\pi/6) \cdot \cos(\pi/3) = 2 \cdot (\sqrt{3})^2 - (\sqrt{3})^2 - (1/2) \cdot (1/2) = 2 \cdot 3 - 3 - 1/4 = 6 - 3 - 0{,}25 = 2{,}75$. **Ответ:** 2,75. **А8.** $y = 8 \sin x - 7 \cos x$. Производная $y' = 8 \cos x - 7(-\sin x) = 8 \cos x + 7 \sin x$. ### Часть B **В1.** $\sin \alpha = -35/37$, $\pi < \alpha < 3\pi/2$ (III четверть, косинус отрицательный). $\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - (-35/37)^2 = 1 - 1225/1369 = 144/1369$. $\cos \alpha = -\sqrt{144/1369} = -12/37$. **Ответ:** $-12/37$. **В2.** $y = x^3 + 6x^2 + 9x$. Производная $y' = 3x^2 + 12x + 9 = 3(x^2 + 4x + 3) = 3(x+1)(x+3)$. Точки экстремума: $x = -1$ и $x = -3$. Возрастает на $(-\infty; -3] \cup [-1; +\infty)$, убывает на $[-3; -1]$. **В3.** $2 \cos x - \sqrt{2} = 0 \Rightarrow \cos x = \sqrt{2}/2$. $x = \pm \pi/4 + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. **В4.** $\int_1^5 (x+2) dx = [x^2/2 + 2x]_1^5 = (25/2 + 10) - (1/2 + 2) = 22{,}5 - 2{,}5 = 20$. **Ответ:** 20. ### Часть C **С1.** $y = 6x^4 - 4x^6$. $y' = 24x^3 - 24x^5 = 24x^3(1 - x^2) = 24x^3(1-x)(1+x)$. Критические точки: $0, 1, -1$. Возрастает на $(-\infty; -1] \cup [0; 1]$, убывает на $[-1; 0] \cup [1; +\infty)$. **С2.** Правильная четырехугольная пирамида. Высота $H = 3$, боковое ребро $L = 5$. Диагональ основания $d$ находится из прямоугольного треугольника: $d^2/4 + H^2 = L^2 \Rightarrow d^2/4 + 9 = 25 \Rightarrow d^2/4 = 16 \Rightarrow d^2 = 64 \Rightarrow d = 8$. Сторона основания $a = d / \sqrt{2} = 8 / \sqrt{2} = 4\sqrt{2}$. Площадь основания $S = a^2 = (4\sqrt{2})^2 = 16 \cdot 2 = 32$. Объем $V = 1/3 \cdot S \cdot H = 1/3 \cdot 32 \cdot 3 = 32$. **Ответ:** 32. **С3.** $16^x - 60 \cdot 4^x - 256 = 0$. Пусть $t = 4^x (t > 0)$. $t^2 - 60t - 256 = 0$. $D = 60^2 - 4 \cdot (-256) = 3600 + 1024 = 4624 = 68^2$. $t_1 = (60+68)/2 = 64$, $t_2 = (60-68)/2 = -4$ (не подходит, т.к. $t>0$). $4^x = 64 \Rightarrow 4^x = 4^3 \Rightarrow x = 3$. **Ответ:** 3.