Найдете область определения функции y = 3 / sqrt(x^2 - 2x - 3)

Привет! Давай разберем задания из твоего листа. Решу их по порядку. ### Часть А **А1.** Область определения функции $y = \frac{3}{\sqrt{x^2 - 2x - 3}}$. Знаменатель должен быть больше нуля: $x^2 - 2x - 3 > 0$. Корни уравнения $x^2 - 2x - 3 = 0$ — это $3$ и $-1$. Парабола ветвями вверх, поэтому значения больше нуля при $x \in (-\infty; -1) \cup (3; +\infty)$. **А2.** $81^{1/6} \cdot 9^{1/6} = (81 \cdot 9)^{1/6} = 729^{1/6}$. Так как $3^6 = 729$, ответ $3$. **А3.** $\log_3 108 - \log_3 12 = \log_3 \frac{108}{12} = \log_3 9 = 2$. **А4.** $9 \cdot 10^{\log_{10} 3} = 9 \cdot 3 = 27$. **А5.** $\log_7 (9 - x) = \log_7 8$. Следовательно, $9 - x = 8$, значит $x = 1$. **А6.** $x^2 + 9y^2 - 0,8 - 6xy = (x - 3y)^2 - 0,8$. Подставим $x = 34, y = \frac{1}{3}$: $(34 - 3 \cdot \frac{1}{3})^2 - 0,8 = (34 - 1)^2 - 0,8 = 33^2 - 0,8 = 1089 - 0,8 = 1088,2$. **А7.** $2\sin\frac{\pi}{4} + \sqrt{2}\cos\frac{\pi}{4} = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} + 1$. **А8.** $(5 - x)' = -1$. ### Часть B **В1.** $\sin \alpha = -\frac{35}{37}$, $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$ (III четверть, косинус отрицательный). $\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - (-\frac{35}{37})^2 = 1 - \frac{1225}{1369} = \frac{144}{1369}$. $\cos \alpha = -\sqrt{\frac{144}{1369}} = -\frac{12}{37}$. **В2.** $y = x^3 - 4x^2 + 4x$. Производная $y' = 3x^2 - 8x + 4$. Приравняем к 0: $3x^2 - 8x + 4 = 0$. Корни: $x_1 = 2, x_2 = \frac{2}{3}$. Интервалы возрастания: $(-\infty; 2/3] \cup [2; +\infty)$. Интервал убывания: $[2/3; 2]$. **В3.** $\sin 3x = -\frac{1}{2}$. $3x = (-1)^n \cdot (-\frac{\pi}{6}) + \pi n$. $x = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{18} + \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$. **В4.** $S = \int_1^2 (x + 3) dx = [\frac{x^2}{2} + 3x]_1^2 = (2 + 6) - (0,5 + 3) = 8 - 3,5 = 4,5$. ### Часть C **С1.** $y = -\frac{x^4}{4} + x^2$. $y' = -x^3 + 2x = -x(x^2 - 2)$. Критические точки: $0, \sqrt{2}, -\sqrt{2}$. Функция четная, симметрична относительно оси $Oy$. Экстремумы в точках $(0; 0)$ (минимум), $(\sqrt{2}; 1)$ и $(-\sqrt{2}; 1)$ (максимумы). **С2.** Высота $H = 3$, боковое ребро $l = 5$. Найдем половину диагонали основания $d/2$: $(d/2)^2 = l^2 - H^2 = 25 - 9 = 16$, $d/2 = 4$. Значит, диагональ квадрата $d = 8$. Сторона квадрата $a = \frac{d}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2}$. Площадь основания $S = a^2 = (4\sqrt{2})^2 = 32$. Объем $V = \frac{1}{3} S H = \frac{1}{3} \cdot 32 \cdot 3 = 32$. **С3.** $2^x - 4 \cdot (\sqrt{2})^x - 32 = 0$. Замена $2^{x/2} = t$ ($t > 0$). $t^2 - 4t - 32 = 0$. Корни: $t_1 = 8, t_2 = -4$ (не подходит). $2^{x/2} = 8 \Rightarrow 2^{x/2} = 2^3 \Rightarrow x/2 = 3 \Rightarrow x = 6$.