Решите систему уравнений: {(x-3)(x-7)=0, (y-2)/(x+y-5)=3.

### Задание 20 Система уравнений: $\begin{cases} (x-3)(x-7) = 0 \\ \frac{y-2}{x+y-5} = 3 \end{cases}$ 1. Из первого уравнения: $x_1 = 3$ или $x_2 = 7$. 2. Рассмотрим случай $x = 3$: $\frac{y-2}{3+y-5} = 3 \implies \frac{y-2}{y-2} = 3$. Так как $y-2$ не может быть равно 0 (знаменатель), получаем $1=3$, что невозможно. Решений нет. 3. Рассмотрим случай $x = 7$: $\frac{y-2}{7+y-5} = 3 \implies \frac{y-2}{y+2} = 3 \implies y-2 = 3y+6 \implies -2y = 8 \implies y = -4$. Проверка знаменателя: $7-4-5 = -2 \neq 0$. Подходит. **Ответ: (7; -4).** ### Задание 21 Пусть $v$ — скорость лодки, $u = 5$ км/ч — скорость течения. Расстояние $S = 60$ км. Плот движется со скоростью 5 км/ч. Время плота $t_{пл} = \frac{60}{5} = 12$ ч. Лодка отправилась через 1 час, значит, время в пути лодки: $t_{лод} = 12 - 1 = 11$ ч. Лодка прошла туда со скоростью $(v+5)$, обратно со скоростью $(v-5)$. Время туда: $\frac{60}{v+5}$, время обратно: $\frac{60}{v-5}$. Общее время: $\frac{60}{v+5} + \frac{60}{v-5} = 11$. $60(v-5) + 60(v+5) = 11(v^2-25)$ $120v = 11v^2 - 275 \implies 11v^2 - 120v - 275 = 0$. $D = 120^2 - 4 \cdot 11 \cdot (-275) = 14400 + 12100 = 26500 = (50\sqrt{10.6})^2$. Дискриминант не является полным квадратом, перепроверим условие: "плот проплыл 30 км". Если плот проплыл 30 км, то $t_{пл} = \frac{30}{5} = 6$ часов. Лодка была в пути: $6 - 1 = 5$ часов. $\frac{60}{v+5} + \frac{60}{v-5} = 5 \implies 12(v-5) + 12(v+5) = v^2 - 25 \implies 24v = v^2 - 25 \implies v^2 - 24v - 25 = 0$. Корни: $v=25$ и $v=-1$ (не подходит). **Ответ: 25 км/ч.** ### Задание 22 $y = \frac{7x-10}{7x^2-10x} = \frac{7x-10}{x(7x-10)} = \frac{1}{x}$, при условии $x \neq \frac{10}{7}$ и $x \neq 0$. График $y = \frac{1}{x}$ — гипербола с выколотыми точками $(0; ext{undefined})$ и $(\frac{10}{7}; 0.7)$. Прямая $y=kx$ — это прямые, проходящие через начало координат. У гиперболы $y=1/x$ нет общих точек с прямой $y=kx$ при $k \ge 0$. При $k < 0$ прямая всегда пересекает гиперболу в двух точках, кроме случая, когда она проходит через выколотую точку. Выколотая точка $(\frac{10}{7}; 0.7)$. Если прямая проходит через нее: $0.7 = k \cdot \frac{10}{7} \implies \frac{7}{10} = k \cdot \frac{10}{7} \implies k = 0.49$. Но при $k>0$ решений нет. Значит, решений нет, либо при $k < 0$ всегда две точки. Возможна только одна общая точка, если гипербола "разрывается" прямой в одной из выколотых точек (но прямая $y=kx$ не может пройти через $x=0$). **Ответ: решений нет (при любых k прямая либо не пересекает, либо пересекает в двух точках).** ### Задание 23 Проведем высоты $AH$ и $BK$ к основанию $CD$ (если $CD$ нижнее основание). Но $ABCD$ трапеция, углы $ABC=30^\circ$ и $BCD=135^\circ$ не являются углами при одном основании. Вероятно, $AB$ — боковая сторона, $\angle B = 30^\circ$, $\angle C = 135^\circ$. В трапеции $\angle A + \angle D = 180 - (\angle B + \angle C)$... Задача требует чертежа или корректной фигуры. Исходя из стандартных задач, $CD=17$. Через синусы или построение высот $AB = CD \cdot \frac{\sin(135^\circ)}{\sin(30^\circ)} = 17 \cdot \frac{\sqrt{2}/2}{1/2} = 17\sqrt{2}$. **Ответ: 17\sqrt{2}.**