Письменная экзаменационная работа по Математике. Вариант 1

Привет! Давай разберем твою работу. Начнем с решения заданий: 1. Решите неравенство $\frac{x^2 - 3x + 2}{6 + 3x} > 0$ Найдем корни числителя: $x^2 - 3x + 2 = 0$. По теореме Виета $x_1 = 1, x_2 = 2$. Знаменатель: $6 + 3x = 0 \Rightarrow 3x = -6 \Rightarrow x = -2$ (это точка разрыва). Нанесем точки на числовую ось и определим знаки: Интервалы: $(-\infty, -2) \cup (-2, 1) \cup (2, +\infty)$ Знаки: $(-\infty, -2) \rightarrow (-)$, $(-2, 1) \rightarrow (+)$, $(1, 2) \rightarrow (-)$, $(2, +\infty) \rightarrow (+)$. Нам нужны интервалы, где выражение $> 0$. **Ответ:** $x \in (-2, 1) \cup (2, +\infty)$. 2. Решите неравенство $\log_2(1 - 3x) \le 2$ ОДЗ: $1 - 3x > 0 \Rightarrow 3x < 1 \Rightarrow x < \frac{1}{3}$. Перепишем: $\log_2(1 - 3x) \le \log_2(2^2) \Rightarrow \log_2(1 - 3x) \le \log_2(4)$. Так как основание $2 > 1$, знак сохраняется: $1 - 3x \le 4$. $-3x \le 3 \Rightarrow x \ge -1$. С учетом ОДЗ: **Ответ:** $x \in [-1, \frac{1}{3})$. 3. Докажите тождество $\frac{1 - 2\cos^2\alpha}{\sin\alpha \cos\alpha} = \tg\alpha - \ctg\alpha$ Преобразуем правую часть: $\tg\alpha - \ctg\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} - \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{\sin^2\alpha - \cos^2\alpha}{\sin\alpha \cos\alpha}$. Вспомним, что $\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha$: $\frac{1 - \cos^2\alpha - \cos^2\alpha}{\sin\alpha \cos\alpha} = \frac{1 - 2\cos^2\alpha}{\sin\alpha \cos\alpha}$. Тождество доказано. 4. Анализ функции $f(x)$ по графику: а) Область определения $D(f)$: по оси $x$ график идет от $-4$ до $4$. **Ответ:** $D(f) = [-4, 4]$. б) $f(x) > 0$ (график выше оси $x$): на интервалах $(-2, 2)$. **Ответ:** $(-2, 2)$. в) Производная положительна (функция возрастает): на интервалах $(-4, -3)$ и $(0, 2)$. г) Касательные параллельны оси абсцисс (там, где производная равна $0$): в точках экстремумов, где «горки» и «впадины». Это $x = -3$ и $x = 2$. Координаты: $(-3, 0)$ и $(2, 3)$ (примерно по сетке). д) Наибольшее значение функции (пик): $y = 3$. Наименьшее значение (самая низкая точка): $y = -2$ при $x=4$. 5. Точки экстремума: это «горки» и «впадины». **Ответ:** Максимум при $x = 0$ (точка $(0, 3)$), минимум при $x = -3$ (точка $(-3, 0)$).