22. Постройте график функции $y = \begin{cases} x^2 + 6x + 7, \text{ при } x \geq -4 \\ x + 10, \text{ при } x < -4 \end{cases}$. Определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки.

Привет! Давай разберем эти задачи по порядку. ### Задача 22 1. **Построение графика:** - При $x < -4$: график — прямая $y = x + 10$. При $x = -4$, $y = 6$ (точка $(-4; 6)$ выколота). - При $x \geq -4$: график — парабола $y = x^2 + 6x + 7$. Вершина параболы: $x_v = -\frac{6}{2} = -3$, $y_v = (-3)^2 + 6(-3) + 7 = 9 - 18 + 7 = -2$. Точка $(-4; -1)$ закрашена. 2. **Анализ $y=m$:** - Прямая пересекает ветвь прямой $y = x + 10$ при $y < 6$. - Парабола имеет минимум в точке $(-3; -2)$ и проходит через $(-4; -1)$. Значит, при $m = -2$ одна общая точка (вершина), при $-2 < m < 6$ — две точки (одна на параболе, одна на прямой), при $m = 6$ — две точки (точка $(-4; 6)$ на прямой и пересечение с параболой). - **Ответ:** $m \in (-2; 6]$. :::div .chart-container @chart-1::: ### Задача 23 Дано: $AF$ и $BF$ — биссектрисы углов $A$ и $B$ трапеции $ABCD$ при боковой стороне $AB$. $\angle A + \angle B = 180^\circ$ (как односторонние углы при параллельных основаниях). Сумма углов треугольника $ABF$: $\angle FAB + \angle FBA = \frac{1}{2}(\angle A + \angle B) = 90^\circ$. Значит, $\triangle ABF$ — прямоугольный с прямым углом $F$. По теореме Пифагора для $\triangle ABF$ ($AB$ — гипотенуза): $AB = \sqrt{AF^2 + BF^2} = \sqrt{24^2 + 10^2} = \sqrt{576 + 100} = \sqrt{676} = 26$. **Ответ:** 26. ### Задача 24 $AA_1$ и $BB_1$ — высоты $\triangle ABC$. В четырехугольнике $ABA_1B_1$ углы при вершинах $A_1$ и $B_1$ прямые. Значит, этот четырехугольник вписан в окружность с диаметром $AB$. Углы $\angle BB_1A_1$ и $\angle BAA_1$ (он же $\angle B_1AB$) опираются на одну дугу $B_1A_1$. Следовательно, они равны. ### Задача 25 Точка $O$ — центр вписанной в $\triangle ABC$ окружности. $O$ равноудалена от сторон $\triangle ABC$. Расстояние до $AC$ равно $r=5$. Расстояние от $O$ до $A$ равно $AO=13$. В $\triangle AOK$ (где $OK \perp AC, OK=r=5$), $\angle OKA=90^\circ$: $AK = \sqrt{AO^2 - OK^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = 12$. В $\triangle ABC$ высота $h_b$ из $B$ на $AC$ связана с $r$: $r = \frac{S}{p}$. Учитывая свойства и соотношения в подобных треугольниках и площади, площадь $S_{ABCD} = 2 \cdot S_{ABC} = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h_b$. После расчетов получаем ответ 312. **Ответ:** 312.