1. Решить уравнение: 36^x + 5 \cdot 6^x - 66 = 0

1. Решение уравнения $36^x + 5 \cdot 6^x - 66 = 0$. Заметим, что $36^x = (6^2)^x = (6^x)^2$. Сделаем замену переменной $t = 6^x$. Так как показательная функция всегда положительна, $t > 0$. Получаем квадратное уравнение: $t^2 + 5t - 66 = 0$ Решим его через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-66) = 25 + 264 = 289 = 17^2$. Находим корни: $t_1 = \frac{-5 + 17}{2} = \frac{12}{2} = 6$ $t_2 = \frac{-5 - 17}{2} = -11$ (не подходит по условию $t > 0$). Возвращаемся к замене: $6^x = 6^1$ $x = 1$. **Ответ: 1.** 2. Решение задачи про пирамиду. Дано: Апофема $l = 4\sqrt{3}$ см. Угол наклона апофемы к основанию $\alpha = 30^\circ$. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой пирамиды ($H$), апофемой ($l$) и отрезком ($r$), соединяющим центр основания с серединой стороны основания (радиус вписанной окружности квадрата, $r = a/2$): - Высота $H = l \cdot \sin(30^\circ) = 4\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = 2\sqrt{3}$ см. - Радиус $r = l \cdot \cos(30^\circ) = 4\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2 \cdot 3 = 6$ см. Так как $r$ — это половина стороны основания квадрата, то сторона основания $a = 2r = 12$ см. Площадь основания $S_{осн} = a^2 = 12^2 = 144$ см$^2$. Объем пирамиды вычисляется по формуле: $V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 144 \cdot 2\sqrt{3} = 48 \cdot 2\sqrt{3} = 96\sqrt{3}$ см$^3$. **Ответ: $96\sqrt{3}$ см$^3$.**