Пользуясь формулой Ньютона-Лейбница, найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями y = sinx, x = π/6, x = π/2; y=0

### Задача 1 Для нахождения площади криволинейной трапеции, ограниченной линиями $y = \sin x$, $x = \frac{\pi}{6}$, $x = \frac{\pi}{2}$ и $y = 0$, используем формулу Ньютона-Лейбница: $S = \int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \sin x dx$ Первообразная функции $\sin x$ равна $-\cos x$. Вычисляем определенный интеграл: $S = [-\cos x]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} = -(\cos \frac{\pi}{2} - \cos \frac{\pi}{6}) = -(0 - \frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ **Ответ:** $\frac{\sqrt{3}}{2}$ кв. ед. ### Задача 2 Пусть $l$ — отрезок, соединяющий центр верхнего основания ($O_1$) с точкой ($A$) на окружности нижнего основания. $l = 12\sqrt{3}$ см. Угол наклона этого отрезка к плоскости основания составляет $30^\circ$. Данный отрезок образует прямоугольный треугольник, где гипотенуза $l = 12\sqrt{3}$, катет, лежащий против угла $30^\circ$ — это высота цилиндра ($h$), а катет, прилежащий к углу $30^\circ$ — радиус основания ($r$). 1. Находим высоту $h$: $h = l \cdot \sin 30^\circ = 12\sqrt{3} \cdot 0.5 = 6\sqrt{3}$ см. 2. Находим радиус $r$: $r = l \cdot \cos 30^\circ = 12\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6 \cdot 3 = 18$ см. 3. Находим площадь боковой поверхности цилиндра ($S_{бок} = 2\pi rh$): $S_{бок} = 2 \cdot \pi \cdot 18 \cdot 6\sqrt{3} = 216\sqrt{3}\pi$ см$^2$. **Ответ:** $216\sqrt{3}\pi$ см$^2$.