Найти промежутки возрастания и убывания, а также точки экстремума функции f(x) = -x^3 + 9x^2 - 15x.

### Задание 1 Дана функция $f(x) = -x^3 + 9x^2 - 15x$. 1. Найдем производную: $f'(x) = -3x^2 + 18x - 15$. 2. Приравняем к нулю: $-3(x^2 - 6x + 5) = 0$ $x^2 - 6x + 5 = 0$ По теореме Виета корни: $x_1 = 1$, $x_2 = 5$. 3. Определим знаки производной на интервалах: - При $x < 1$: $f'(x) < 0$ (функция убывает). - При $1 < x < 5$: $f'(x) > 0$ (функция возрастает). - При $x > 5$: $f'(x) < 0$ (функция убывает). 4. Экстремумы: - Точка минимума: $x = 1$. Значение $f(1) = -1 + 9 - 15 = -7$. - Точка максимума: $x = 5$. Значение $f(5) = -125 + 225 - 75 = 25$. **Ответ:** Функция возрастает на $(1; 5)$, убывает на $(-\infty; 1) \cup (5; +\infty)$. Точка минимума $(1; -7)$, точка максимума $(5; 25)$. ### Задание 2 Для вычисления объема треугольной призмы $V = S_{осн} \cdot h$ найдем площадь основания по формуле Герона. 1. Полупериметр основания $p = \frac{25 + 29 + 36}{2} = \frac{90}{2} = 45$ см. 2. Площадь основания $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$: $S = \sqrt{45 \cdot (45 - 25) \cdot (45 - 29) \cdot (45 - 36)}$ $S = \sqrt{45 \cdot 20 \cdot 16 \cdot 9}$ $S = \sqrt{9 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 16 \cdot 9}$ $S = \sqrt{81 \cdot 25 \cdot 64} = 9 \cdot 5 \cdot 8 = 360$ см$^2$. 3. Объем $V = S \cdot h = 360 \cdot 14 = 5040$ см$^3$. **Ответ:** 5040 см$^3$.