Найдите наименьшее и наибольшее значения функции f(x) = x^(2/3)(x - 2) на отрезке [-8; -1]:

Решим задачи по очереди. ### Задание 11 Функция: $f(x) = x^{2/3}(x - 2) = x^{5/3} - 2x^{2/3}$ Отрезок: $[-8; -1]$ 1. Найдем производную: $f'(x) = \frac{5}{3}x^{2/3} - 2 \cdot \frac{2}{3}x^{-1/3} = \frac{5}{3}x^{2/3} - \frac{4}{3}x^{-1/3}$ $f'(x) = \frac{1}{3}x^{-1/3}(5x - 4) = \frac{5x - 4}{3\sqrt[3]{x}}$ 2. Критические точки: $f'(x) = 0 \Rightarrow 5x - 4 = 0 \Rightarrow x = 0,8$. Точка $0,8$ не принадлежит отрезку $[-8; -1]$. $f'(x)$ не существует при $x = 0$. Точка $0$ не принадлежит отрезку $[-8; -1]$. 3. Значения на концах отрезка: $f(-8) = (-8)^{2/3}(-8 - 2) = ((-8)^{1/3})^2 \cdot (-10) = (-2)^2 \cdot (-10) = 4 \cdot (-10) = -40$ $f(-1) = (-1)^{2/3}(-1 - 2) = ((-1)^{1/3})^2 \cdot (-3) = (-1)^2 \cdot (-3) = 1 \cdot (-3) = -3$ Наименьшее значение: $-40$, наибольшее значение: $-3$. **Ответ: 2) -3 и -40.** --- ### Задание 12 Функция: $y = 0,2x - 5x^{-1} = 0,2x - \frac{5}{x}$ 1. Область определения: $x \neq 0$. 2. Производная: $y' = 0,2 - 5 \cdot (-1)x^{-2} = 0,2 + \frac{5}{x^2}$ 3. Приравниваем производную к нулю: $0,2 + \frac{5}{x^2} = 0$ $\frac{5}{x^2} = -0,2$ $5 = -0,2x^2$ $x^2 = -25$ Уравнение $x^2 = -25$ не имеет действительных корней. Производная $y' = 0,2 + \frac{5}{x^2}$ всегда положительна для всех $x$ из области определения (так как $x^2 > 0$ и сумма двух положительных величин всегда положительна). Значит, функция монотонно возрастает на всей области определения. **Ответ: 3) нет точек экстремума.**