1. Вычислить неопределенный интеграл (arctg^3 x dx) / (1 + x^2)

Привет! Давай разберем задания по порядку. ### 1. Вычислить неопределенный интеграл $\int \frac{\text{arctg}^3 x \, dx}{1 + x^2}$ Сделаем замену переменной: пусть $t = \text{arctg} x$. Тогда дифференциал $dt = \frac{1}{1 + x^2} \, dx$. Подставим в интеграл: $\int t^3 \, dt = \frac{t^4}{4} + C$ Возвращаемся к переменной $x$: **Ответ:** $\frac{\text{arctg}^4 x}{4} + C$ ### 2. Найти решение $(1 + x^2)y' - 2xy = (1 + x^2)^2$, при $y_0 = 5, x_0 = -2$ Это линейное неоднородное уравнение первого порядка. Разделим обе части на $(1 + x^2)$: $y' - \frac{2x}{1 + x^2} y = 1 + x^2$ Решаем методом вариации постоянной. Сначала найдем решение однородного уравнения $y' - \frac{2x}{1+x^2} y = 0$: $\frac{dy}{y} = \frac{2x}{1+x^2} dx \implies \ln|y| = \ln(1+x^2) + C_1 \implies y = C(x)(1+x^2)$ Подставим в исходное уравнение: $C'(x)(1+x^2) + C(x) \cdot 2x - \frac{2x}{1+x^2} C(x)(1+x^2) = 1+x^2$ $C'(x)(1+x^2) = 1+x^2 \implies C'(x) = 1 \implies C(x) = x + C$ Общее решение: $y = (x + C)(1 + x^2)$. Теперь найдем $C$, подставив $x = -2, y = 5$: $5 = (-2 + C)(1 + (-2)^2) \implies 5 = (-2 + C) \cdot 5 \implies 1 = -2 + C \implies C = 3$ **Ответ:** $y = (x + 3)(1 + x^2)$ или $y = x^3 + 3x^2 + x + 3$ ### 3. Найти производные функций **а) $y = (5x^2 + 4\sqrt[4]{x^5} + 3)^3$** Используем правило дифференцирования сложной функции: $(u^n)' = n u^{n-1} \cdot u'$. $y' = 3(5x^2 + 4x^{5/4} + 3)^2 \cdot (5x^2 + 4x^{5/4} + 3)'$ $y' = 3(5x^2 + 4x^{5/4} + 3)^2 \cdot (10x + 4 \cdot \frac{5}{4}x^{1/4})$ $y' = 3(5x^2 + 4\sqrt[4]{x^5} + 3)^2 (10x + 5\sqrt[4]{x})$ **Ответ:** $y' = 15(2x + \sqrt[4]{x})(5x^2 + 4\sqrt[4]{x^5} + 3)^2$ **г) $y = 3^{\cos x} - x \sin 2x$** Находим производную суммы: $(3^{\cos x})' = 3^{\cos x} \ln 3 \cdot (\cos x)' = -3^{\cos x} \ln 3 \cdot \sin x$ $(x \sin 2x)' = (x)' \sin 2x + x (\sin 2x)' = \sin 2x + x \cdot \cos 2x \cdot 2 = \sin 2x + 2x \cos 2x$ **Ответ:** $y' = -3^{\cos x} \ln 3 \sin x - \sin 2x - 2x \cos 2x$