1. Вычислить неопределенный интеграл $\int \frac{\ln^2 x}{x} dx$

1. Вычислим интеграл методом подстановки. Пусть $u = \ln x$, тогда $du = \frac{1}{x} dx$. Подставляем в интеграл: $\int \ln^2 x \cdot \frac{1}{x} dx = \int u^2 du = \frac{u^3}{3} + C = \frac{\ln^3 x}{3} + C$. 2. Найдем производные: а) Используем правило дифференцирования сложной функции: $y' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'$. $y' = 3(5x^2 + 4\sqrt[4]{x^5} + 3)^2 \cdot (5x^2 + 4x^{5/4} + 3)'$ $y' = 3(5x^2 + 4\sqrt[4]{x^5} + 3)^2 \cdot (10x + 4 \cdot \frac{5}{4} x^{1/4})$ $y' = 3(5x^2 + 4\sqrt[4]{x^5} + 3)^2 (10x + 5\sqrt[4]{x})$. г) Используем формулу производной показательной функции и правило произведения: $y' = (5^{\sqrt{x}})' - (x^2 \operatorname{tg} 2x)'$ $y' = 5^{\sqrt{x}} \ln 5 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} - (2x \cdot \operatorname{tg} 2x + x^2 \cdot \frac{1}{\cos^2 2x} \cdot 2)$ $y' = \frac{5^{\sqrt{x}} \ln 5}{2\sqrt{x}} - 2x \operatorname{tg} 2x - \frac{2x^2}{\cos^2 2x}$. 3. Это однородное дифференциальное уравнение. Разделим обе части на $dx$ и выразим $y'$: $y' = \frac{2xy}{x^2+y^2}$. Сделаем замену $y = ux$, тогда $y' = u'x + u$: $u'x + u = \frac{2x(ux)}{x^2+(ux)^2} = \frac{2u}{1+u^2}$. $u'x = \frac{2u}{1+u^2} - u = \frac{2u - u - u^3}{1+u^2} = \frac{u - u^3}{1+u^2}$. $\frac{1+u^2}{u(1-u^2)} du = \frac{dx}{x}$. Разложив на простейшие дроби $\frac{1}{u} + \frac{1}{1-u} - \frac{1}{1+u}$ и проинтегрировав: $\ln|u| - \ln|1-u| - \ln|1+u| = \ln|x| + C$ $\ln|\frac{u}{1-u^2}| = \ln|x| + C$. Возвращаясь к $y=ux$, получаем решение: $x^2 - y^2 = Cy$.