1. Вычислить неопределенный интеграл arctg^3 x dx / (1 + x^2)

1. Вычислим неопределенный интеграл: $\int \frac{\text{arctg}^3 x dx}{1 + x^2}$ Сделаем замену переменной: $t = \text{arctg } x$, тогда $dt = \frac{dx}{1 + x^2}$. Интеграл принимает вид: $\int t^3 dt = \frac{t^4}{4} + C = \frac{\text{arctg}^4 x}{4} + C$ 2. Найдем производные функций: а) $y = (7x^5 - 3x\sqrt[3]{x^2} - 6)^4 = (7x^5 - 3x^{5/3} - 6)^4$ Применим правило дифференцирования сложной функции: $y' = 4(7x^5 - 3x^{5/3} - 6)^3 \cdot (35x^4 - 5x^{2/3})$ $y' = 4(7x^5 - 3x\sqrt[3]{x^2} - 6)^3 \cdot (35x^4 - 5\sqrt[3]{x^2})$ г) $y = 2^{x^2+1} - x\sin 4x$ Производная суммы/разности: $y' = (2^{x^2+1})' - (x\sin 4x)'$ $y' = 2^{x^2+1} \cdot \ln 2 \cdot (2x) - (1 \cdot \sin 4x + x \cdot \cos 4x \cdot 4)$ $y' = 2x \cdot 2^{x^2+1} \ln 2 - \sin 4x - 4x \cos 4x$ 3. Решим уравнение $(x^2 + y^2)y' = 2xy$: Это однородное дифференциальное уравнение. Разделим на $x^2$: $(1 + (y/x)^2)y' = 2(y/x)$ Пусть $u = y/x$, тогда $y = ux$ и $y' = u'x + u$. $(1 + u^2)(u'x + u) = 2u$ $u'x + u = \frac{2u}{1+u^2}$ $u'x = \frac{2u}{1+u^2} - u = \frac{2u - u - u^3}{1+u^2} = \frac{u - u^3}{1+u^2}$ Разделяем переменные: $\frac{1+u^2}{u(1-u^2)} du = \frac{dx}{x}$ Разложим левую часть на простейшие дроби: $\frac{1+u^2}{u(1-u)(1+u)} = \frac{A}{u} + \frac{B}{1-u} + \frac{C}{1+u}$ После нахождения коэффициентов: $\frac{1}{u} + \frac{1}{1-u} - \frac{1}{1+u} du = \frac{dx}{x}$ Интегрируем: $\ln|u| - \ln|1-u| - \ln|1+u| = \ln|x| + \ln|C_1|$ $\ln|\frac{u}{1-u^2}| = \ln|Cx|$ $\frac{y/x}{1-(y/x)^2} = Cx \Rightarrow \frac{xy}{x^2-y^2} = Cx \Rightarrow x^2-y^2 = \frac{y}{C_2} \Rightarrow y^2 = x^2 - Cy$ Общее решение: $y^2 = Cx - x^2$.