Задание 71. Сколько решений имеет система уравнений?

Привет! Давай разберемся с системами линейных уравнений. Чтобы определить количество решений, удобно привести уравнения к виду $y = kx + b$. Если коэффициенты $k$ при $x$ разные — прямые пересекаются (1 решение). Если $k$ равны, а $b$ разные — прямые параллельны (0 решений). Если $k$ и $b$ совпадают — прямые совпадают (бесконечно много решений). Вот решения для заданий: 2) $\begin{cases} y = 2x + 3 \\ y = 2x + 1 \end{cases}$. Здесь $k_1 = k_2 = 2$, но $b_1 = 3, b_2 = 1$. Прямые параллельны. **Ответ: нет решений.** 3) $\begin{cases} y = 5x + 1 \\ y = 3x - 4 \end{cases}$. Здесь $k_1 = 5, k_2 = 3$ ($5 \neq 3$). Прямые пересекаются. **Ответ: одно решение.** 4) $\begin{cases} y = 4x - 12 \\ y = -4x - 5 \end{cases}$. Здесь $k_1 = 4, k_2 = -4$ ($4 \neq -4$). Прямые пересекаются. **Ответ: одно решение.** 5) $\begin{cases} y = 7x - 8 \\ y = 12x \end{cases}$. Здесь $k_1 = 7, k_2 = 12$ ($7 \neq 12$). Прямые пересекаются. **Ответ: одно решение.** 6) $\begin{cases} y = 4 - 9x \\ y = -9x \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y = -9x + 4 \\ y = -9x \end{cases}$. Здесь $k_1 = k_2 = -9$, но $b_1 = 4, b_2 = 0$. Прямые параллельны. **Ответ: нет решений.** 8) $\begin{cases} 3x + y = 3 \\ 4x + 2y = 10 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y = -3x + 3 \\ 2y = -4x + 10 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y = -3x + 3 \\ y = -2x + 5 \end{cases}$. Здесь $k_1 = -3, k_2 = -2$ ($-3 \neq -2$). Прямые пересекаются. **Ответ: одно решение.** 9) $\begin{cases} x + y = 5 \\ 2x + 2y = 8 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y = -x + 5 \\ 2y = -2x + 8 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y = -x + 5 \\ y = -x + 4 \end{cases}$. Здесь $k_1 = k_2 = -1$, но $b_1 = 5, b_2 = 4$. Прямые параллельны. **Ответ: нет решений.** 10) $\begin{cases} y + 3 = -4x \\ y - 2x = 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y = -4x - 3 \\ y = 2x + 1 \end{cases}$. Здесь $k_1 = -4, k_2 = 2$ ($-4 \neq 2$). Прямые пересекаются. **Ответ: одно решение.** 11) $\begin{cases} x = 7 - 2y \\ x = 14 - 4y \end{cases}$. Умножим первое уравнение на 2: $\begin{cases} 2x = 14 - 4y \\ x = 14 - 4y \end{cases}$. Сравнивая $2x$ и $x$, видим, что при $x = 0$ и $y = 3,5$ решения совпадают. Перепишем относительно $y$: $\begin{cases} 2y = -x + 7 \\ 4y = -x + 14 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y = -0,5x + 3,5 \\ y = -0,25x + 3,5 \end{cases}$. $k_1 \neq k_2$. **Ответ: одно решение.** 12) $\begin{cases} y + 8x = 0 \\ y = 1 - 8x \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y = -8x \\ y = -8x + 1 \end{cases}$. $k_1 = k_2 = -8$, но $b_1 = 0, b_2 = 1$. **Ответ: нет решений.** 13) $\begin{cases} x + y + 3 = 0 \\ y = -2x - 4,5 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y = -x - 3 \\ y = -2x - 4,5 \end{cases}$. $k_1 \neq k_2$. **Ответ: одно решение.** 14) $\begin{cases} 3x - 2y = 7 \\ 6x - 4y = 7 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2y = 3x - 7 \\ 4y = 6x - 7 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y = 1,5x - 3,5 \\ y = 1,5x - 1,75 \end{cases}$. $k_1 = k_2 = 1,5$, но $b_1 \neq b_2$. **Ответ: нет решений.** 15) $\begin{cases} y = 2x - 1 \\ 4x - 2y = 2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y = 2x - 1 \\ 2y = 4x - 2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y = 2x - 1 \\ y = 2x - 1 \end{cases}$. Уравнения идентичны. **Ответ: бесконечно много решений.**