1. Вычислите: log3 27^5 - lg 0.001 / кубический корень из 16 + (1/2)^-3 * (-1)^2025

Привет! Давай разберем твой зачет по математике. Вот решения: 1. Вычислите: $\frac{\log_3 27^5 - \lg 0.001}{\sqrt[4]{16}} + (\frac{1}{2})^{-3} \cdot (-1)^{2025}$ Решение: $\log_3 (3^3)^5 = \log_3 3^{15} = 15$ $\lg 0.001 = \lg 10^{-3} = -3$ $\sqrt[4]{16} = 2$ $(\frac{1}{2})^{-3} = 2^3 = 8$ $(-1)^{2025} = -1$ $\frac{15 - (-3)}{2} + 8 \cdot (-1) = \frac{18}{2} - 8 = 9 - 8 = 1$. **Ответ: 1.** 2. Решите уравнение: $2^{2x+1} + 2^{x+2} = 2^x + 4$ Решение: Пусть $2^x = t$ ($t > 0$). $2 \cdot t^2 + 4t = t + 4$ $2t^2 + 3t - 4 = 0$ $D = 9 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 9 + 32 = 41$ $t = \frac{-3 \pm \sqrt{41}}{4}$ Так как $t > 0$, берем $t = \frac{\sqrt{41}-3}{4}$. $2^x = \frac{\sqrt{41}-3}{4} \Rightarrow x = \log_2 \frac{\sqrt{41}-3}{4} = \log_2 (\sqrt{41}-3) - 2$. 3. Вычислите интеграл: $\int_{1}^{4} (3\sqrt{x} + \frac{4}{x^2} - 2) dx$ Решение: $\int (3x^{1/2} + 4x^{-2} - 2) dx = 3 \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} + 4 \cdot \frac{x^{-1}}{-1} - 2x = 2x\sqrt{x} - \frac{4}{x} - 2x \Big|_1^4$ $(2 \cdot 4 \cdot 2 - \frac{4}{4} - 2 \cdot 4) - (2 \cdot 1 \cdot 1 - 4 - 2) = (16 - 1 - 8) - (2 - 4 - 2) = 7 - (-4) = 11$. **Ответ: 11.** 4. Решите неравенство: $\frac{x^2 - 5x + 6}{x - 1} \le 0$ Решение: $\frac{(x-2)(x-3)}{x-1} \le 0$ Метод интервалов. Корни: 1, 2, 3. Знаки: (-), (+), (-), (+). Интервалы: $x \in (-\infty; 1) \cup [2; 3]$. **Ответ: $(-\infty; 1) \cup [2; 3]$.** 5. Вычислите предел: $\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{1+2x}-3}{\sqrt{x}-2}$ Решение: $\frac{\sqrt{1+2x}-3}{\sqrt{x}-2} \cdot \frac{\sqrt{1+2x}+3}{\sqrt{1+2x}+3} \cdot \frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+2} = \frac{(1+2x-9)(\sqrt{x}+2)}{(x-4)(\sqrt{1+2x}+3)} = \frac{2(x-4)(\sqrt{x}+2)}{(x-4)(\sqrt{1+2x}+3)} = \frac{2(\sqrt{x}+2)}{\sqrt{1+2x}+3} = \frac{2(2+2)}{3+3} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$. **Ответ: $4/3$.** 6. Найдите производную: $f(x) = (\frac{x^3+2}{(x-1)^2})^8$ Решение: $f'(x) = 8(\frac{x^3+2}{(x-1)^2})^7 \cdot (\frac{3x^2(x-1)^2 - 2(x-1)(x^3+2)}{(x-1)^4})$ $= 8(\frac{x^3+2}{(x-1)^2})^7 \cdot \frac{3x^2(x-1) - 2(x^3+2)}{(x-1)^3} = 8\frac{(x^3+2)^7}{(x-1)^{14}} \cdot \frac{3x^3-3x^2-2x^3-4}{(x-1)^3} = 8\frac{(x^3+2)^7(x^3-3x^2-4)}{(x-1)^{17}}$. 7. Радиус конуса $r=6$, угол между образующей и плоскостью основания $60^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности. Решение: $l = r / \cos(60^\circ) = 6 / 0.5 = 12$. $S_{бок} = \pi r l = \pi \cdot 6 \cdot 12 = 72\pi$. **Ответ: $72\pi$.** 8. Правильная треугольная призма, сторона основания $a=4$, диагональ боковой грани наклонена под $30^\circ$. Найдите объём. Решение: $H = a \cdot \tan(30^\circ) = 4 / \sqrt{3} = 4\sqrt{3}/3$. $S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{16\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3}$. $V = S_{осн} \cdot H = 4\sqrt{3} \cdot \frac{4\sqrt{3}}{3} = \frac{16 \cdot 3}{3} = 16$. **Ответ: 16.** 9. Решите неравенство: $\log_2(x-3) + \log_2(x-1) \ge 3$ Решение: ОДЗ: $x-3 > 0$ и $x-1 > 0 \Rightarrow x > 3$. $\log_2((x-3)(x-1)) \ge 3$ $(x-3)(x-1) \ge 8$ $x^2 - 4x + 3 - 8 \ge 0$ $x^2 - 4x - 5 \ge 0$ $(x-5)(x+1) \ge 0$ $x \ge 5$ или $x \le -1$. С учетом ОДЗ: $x \ge 5$. **Ответ: $[5; +\infty)$.**