Контрольная работа по теме «Показательная функция»

Привет! Давай разберем твою контрольную работу. 1. Решить уравнение $3^{x+3} - 3^x = 78$: $3^x \cdot 3^3 - 3^x = 78$ $3^x \cdot (27 - 1) = 78$ $3^x \cdot 26 = 78$ $3^x = 78 : 26$ $3^x = 3^1$ $x = 1$. **Ответ: 1.** 2. Решить неравенство $5^{4x-7} > 1$: $5^{4x-7} > 5^0$ Так как основание $5 > 1$, знак неравенства сохраняем: $4x - 7 > 0$ $4x > 7$ $x > 1,75$. **Ответ: x > 1,75.** 3. Решить систему уравнений: $\begin{cases} 2^{x+y} = 16 \\ 3^y = 27^x \end{cases}$ $\begin{cases} 2^{x+y} = 2^4 \\ 3^y = (3^3)^x \end{cases}$ $\begin{cases} x+y = 4 \\ y = 3x \end{cases}$ Подставим $y$ во второе уравнение: $x + 3x = 4$ $4x = 4$ $x = 1$. $y = 3 \cdot 1 = 3$. **Ответ: (1; 3).** 4. Вычислить $\frac{3^{\frac{3}{2}} \cdot 81^{\frac{3}{4}}}{3^{-\frac{1}{2}}}$: Заметим, что $81 = 3^4$, тогда $81^{\frac{3}{4}} = (3^4)^{\frac{3}{4}} = 3^3$. Получаем: $\frac{3^{\frac{3}{2}} \cdot 3^3}{3^{-\frac{1}{2}}} = 3^{\frac{3}{2} + 3 - (-\frac{1}{2})} = 3^{\frac{3}{2} + 3 + \frac{1}{2}} = 3^{2 + 3} = 3^5 = 243$. **Ответ: 243.** 5. Решить графически уравнение $(\frac{1}{3})^x = x + 1$: Построим графики двух функций: $y = (\frac{1}{3})^x$ (убывающая экспонента, проходит через точки $(0; 1)$, $(-1; 3)$, $(1; 1/3)$) $y = x + 1$ (прямая, проходит через $(-1; 0)$ и $(0; 1)$). Графики пересекаются в точке $(0; 1)$. **Ответ: x = 0.**