15. Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови.

15. Пусть $H$ — событие, что пациент болен гепатитом, $P(H) = 0,05$. Тогда $P(\bar{H}) = 1 - 0,05 = 0,95$ (не болен). Пусть $A$ — событие, что анализ положительный. По условию $P(A|H) = 0,9$ и $P(A|\bar{H}) = 0,01$. По формуле полной вероятности: $P(A) = P(A|H) \cdot P(H) + P(A|\bar{H}) \cdot P(\bar{H}) = 0,9 \cdot 0,05 + 0,01 \cdot 0,95 = 0,045 + 0,0095 = 0,0545$. Ответ: 0,0545. 16. Нужно выбрать двух человек из шести, причем порядок важен (первый и второй докладчик). Это размещение $A^2_6 = 6 \cdot 5 = 30$. Ответ: 30. 17. В $\triangle ABC$ ($\angle C=90^\circ$): $AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{25^2 - 7^2} = \sqrt{625 - 49} = \sqrt{576} = 24$. Пусть $h$ — расстояние от $A$ до плоскости $\alpha$. Так как $BC$ лежит в $\alpha$, расстояние от $C$ до $\alpha$ равно 0. Угол между плоскостями 30$^{\circ}$. Тогда $h = AC \cdot \sin(30^\circ) = 24 \cdot 0,5 = 12$. Ответ: 12 см. 18. $6\sin^2 x + 2\sin x \cos x = 2(\sin^2 x + \cos^2 x)$. $4\sin^2 x + 2\sin x \cos x - 2\cos^2 x = 0$. Делим на $\cos^2 x \neq 0$: $4\text{tg}^2 x + 2\text{tg} x - 2 = 0$. Пусть $t = \text{tg} x$: $2t^2 + t - 1 = 0$. $D = 1 - 4(2)(-1) = 9$. $t_1 = (-1+3)/4 = 0,5$, $t_2 = (-1-3)/4 = -1$. $x_1 = \text{arctg}(0,5) + \pi n, x_2 = -\pi/4 + \pi n$. Ответ: $\text{arctg}(0,5) + \pi n, -\pi/4 + \pi n$. 19. $f'(x) = 15x^2 - 60$. Приравняем к нулю: $15(x^2 - 4) = 0$, $x = \pm 2$. При $x < -2$ производная $>0$ (возрастает), при $-2 < x < 2$ производная $<0$ (убывает). Значит, $x=-2$ — точка максимума. Ответ: -2. 20. $S = \int_0^2 (x^3 + x^2 + 1) dx = [\frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3} + x]_0^2 = (\frac{16}{4} + \frac{8}{3} + 2) - 0 = 4 + 2,66... + 2 = 8\frac{2}{3}$. Ответ: $8\frac{2}{3}$. 21. Скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$: $(-1 \cdot 5) + (2 \cdot x) + (3 \cdot -1) = 0$. $-5 + 2x - 3 = 0$, $2x = 8$, $x = 4$. Ответ: 4.