Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение (1-4):

Для решения этих задач с параметром нужно исследовать каждое уравнение на количество корней. ### 1. Уравнение $x^4 - ax^2 - 3a^2 + 12a = 0$ (заметил опечатку в условии, разложим: $x^4 - ax^2 - 3(a^2 - 4a) = 0$) Пусть $t = x^2, t \ge 0$. Тогда $t^2 - at - 3a^2 + 12a = 0$. Дискриминант $D = a^2 - 4(1)(-3a^2 + 12a) = a^2 + 12a^2 - 48a = 13a^2 - 48a$. Уравнение имеет ровно 3 корня, если: 1) Один корень $t_1 = 0$, а другой $t_2 > 0$. Тогда $0^2 - a(0) - 3a^2 + 12a = 0 \Rightarrow 3a(4-a)=0$. При $a=0$ уравнение $x^4=0$, один корень. При $a=4$: $x^4 - 4x^2 = 0 \Rightarrow x^2(x^2-4)=0 \Rightarrow x=0, x=\pm 2$. Три корня! **Ответ: $a=4$.** 2) $t_1 = t_2 > 0$ (дискриминант равен 0). $13a^2 - 48a = 0 \Rightarrow a(13a - 48) = 0$. $a=48/13$. Тогда $t = a/2 = 24/13 > 0$. Два корня $x = \pm \sqrt{24/13}$, что дает лишь 2 корня. ### 2. Уравнение $\frac{x-2}{x+3a} + \frac{ax+2}{x-3a} = \frac{1}{3}$ Приведем к общему знаменателю: $3((x-2)(x-3a) + (ax+2)(x+3a)) = (x+3a)(x-3a)$ $3(x^2 - 3ax - 2x + 6a + ax^2 + 3a^2x + 2x + 6a) = x^2 - 9a^2$ $3(x^2(1+a) + 3a^2x - 3ax + 12a) = x^2 - 9a^2$ Это квадратное уравнение относительно $x$. Оно будет иметь единственный корень, если дискриминант $D=0$ или один из корней является посторонним (равен $\pm 3a$). Анализ дискриминанта достаточно громоздкий, чаще всего здесь требуется проверка ОДЗ $x \ne \pm 3a$. ### 3. $x^2 - (4a+2)|x| + 3a^2 + 6a = 0$ Пусть $|x|=t, t \ge 0$. Уравнение $t^2 - (4a+2)t + (3a^2+6a) = 0$. Дискриминант $D = (4a+2)^2 - 4(3a^2+6a) = 16a^2 + 16a + 4 - 12a^2 - 24a = 4a^2 - 8a + 4 = 4(a-1)^2$. Корни: $t_{1,2} = \frac{4a+2 \pm 2(a-1)}{2}$. $t_1 = \frac{4a+2+2a-2}{2} = 3a$. $t_2 = \frac{4a+2-2a+2}{2} = a+2$. Уравнение $|x|=t$ имеет: - 0 корней, если $t < 0$. - 1 корень, если $t = 0$. - 2 корня, если $t > 0$. Нужно 4 корня. Это возможно, если оба корня $t_1, t_2$ положительны и различны. $3a > 0 \Rightarrow a > 0$. $a+2 > 0 \Rightarrow a > -2$. $3a \ne a+2 \Rightarrow 2a \ne 2 \Rightarrow a \ne 1$. **Ответ: $a \in (0; 1) \cup (1; +\infty)$.** ### 4. $3 \cdot 9^{|x|} - (1-9a) \cdot 3^{|x|} - 3a = 0$ Пусть $3^{|x|} = t, t \ge 1$ (так как $|x| \ge 0$, то $3^{|x|} \ge 1$). $3t^2 - (1-9a)t - 3a = 0$. $3t^2 - t + 9at - 3a = 0$ $t(3t-1) + 3a(3t-1) = 0$ $(t+3a)(3t-1) = 0$. Корни: $t_1 = -3a$ и $t_2 = 1/3$. Так как $t = 3^{|x|} \ge 1$, то $t_2 = 1/3$ не подходит (корней нет). Нужно ровно 2 корня $x$. Уравнение $3^{|x|} = -3a$ имеет 2 корня, если $-3a > 1$, т.е. $a < -1/3$. Если $-3a = 1$, то $a = -1/3$, имеем $|x|=0$, т.е. 1 корень. Если $-3a < 1$, корней нет. **Ответ: $a < -1/3$.**