1017 1) Параболой y = x^2 + 1 и прямой y = 3 - x; 2) параболой y = (x + 2)^2 и прямой y = x + 2; 3) графиком функции y = sqrt(x) и прямой y = x.

Для решения задачи 1017 необходимо найти точки пересечения графиков, чтобы определить пределы интегрирования, а затем вычислить площадь фигуры, ограниченной этими графиками, через определенный интеграл. Рассмотрим каждую пару функций: 1) $y = x^2 + 1$ и $y = 3 - x$ Найдем точки пересечения: $x^2 + 1 = 3 - x$ $x^2 + x - 2 = 0$ По теореме Виета корни: $x_1 = -2$, $x_2 = 1$. Площадь $S = \int_{-2}^{1} ((3 - x) - (x^2 + 1)) dx = \int_{-2}^{1} (-x^2 - x + 2) dx = \left[ -\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 2x \right]_{-2}^{1} = (-\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2) - (\frac{8}{3} - 2 - 4) = (\frac{7}{6}) - (-\frac{10}{3}) = \frac{7}{6} + \frac{20}{6} = 4,5$. 2) $y = (x + 2)^2$ и $y = x + 2$ Найдем точки пересечения: $(x + 2)^2 = x + 2$ $(x + 2)^2 - (x + 2) = 0$ $(x + 2)(x + 2 - 1) = 0$ $(x + 2)(x + 1) = 0$ Корни: $x_1 = -2$, $x_2 = -1$. Площадь $S = \int_{-2}^{-1} ((x + 2) - (x + 2)^2) dx$. Пусть $t = x+2$, тогда $dt = dx$. Пределы: $x=-2 \to t=0$, $x=-1 \to t=1$. $S = \int_{0}^{1} (t - t^2) dt = \left[ \frac{t^2}{2} - \frac{t^3}{3} \right]_0^1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$. 3) $y = \sqrt{x}$ и $y = x$ Найдем точки пересечения: $\sqrt{x} = x \implies x = x^2 \implies x^2 - x = 0$ $x(x - 1) = 0$ Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = 1$. Площадь $S = \int_{0}^{1} (\sqrt{x} - x) dx = \left[ \frac{2}{3}x^{3/2} - \frac{x^2}{2} \right]_0^1 = \frac{2}{3} - \frac{1}{2} = \frac{4-3}{6} = \frac{1}{6}$.