Найдите все значения параметра b, при каждом из которых уравнение (1—3): 1. (x^3+4x^2+x)/|x| = b имеет ровно три корня.

Давай разберем каждое уравнение по порядку. ### Задание 1 $\frac{x^3+4x^2+x}{|x|} = b$ 1. Область определения: $x \neq 0$. 2. Если $x > 0$, то $f(x) = x^2 + 4x + 1$. При $x \to 0$, $f(x) \to 1$. Функция возрастает от $1$ до $+\infty$. 3. Если $x < 0$, то $f(x) = \frac{x(x^2+4x+1)}{-x} = -(x^2+4x+1) = -x^2 - 4x - 1$. Найдем вершину параболы: $x_v = -\frac{-4}{2(-1)} = -2$. Значение в вершине $f(-2) = -((-2)^2 + 4(-2) + 1) = -(4 - 8 + 1) = 3$. Функция возрастает на $(-\infty, -2]$ до $3$ и убывает на $[-2, 0)$ от $3$ до $-1$ (так как $f(-1) = 0$, $f(0) \to -1$). 4. Анализируя график: при $b \in (1, 3)$ уравнение имеет 3 корня (один положительный, два отрицательных). **Ответ: $b \in (1, 3)$** ### Задание 2 $x^2 - 3x - |x^2 - x - 2| = b$ 1. Разложим выражение под модулем: $x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1)$. Модуль меняет знак в точках $-1$ и $2$. 2. Случай $x \le -1$ или $x \ge 2$: $x^2 - 3x - (x^2 - x - 2) = -2x + 2 = b \implies x = 1 - \frac{b}{2}$. Проверка условий дает: если $x \ge 2$, $1 - \frac{b}{2} \ge 2 \implies b \le -2$. Если $x \le -1$, $1 - \frac{b}{2} \le -1 \implies b \ge 4$. 3. Случай $-1 < x < 2$: $x^2 - 3x - (-x^2 + x + 2) = 2x^2 - 4x - 2 = b$. Вершина параболы $x=1$, значение $f(1) = 2(1)^2 - 4(1) - 2 = -4$. При $x=-1$, $f(-1) = 4$. При $x=2$, $f(2) = -2$. Парабола на интервале $(-1, 2)$ принимает значения $[-4, 4)$. 4. Для ровно двух корней: при $b=-2$ (есть корни $x=2$ и $x=1$), при $b \in (-4, -2)$ (один корень из параболы, один из прямой), при $b=4$ (корень $x=-1$ и $x=1$). **Ответ: $b \in (-4, -2] \cup \{4\}$** ### Задание 3 $\sqrt{16-(x+b)^2} = 2+b$ 1. ОДЗ: $2+b \ge 0 \implies b \ge -2$. 2. Возведем в квадрат: $16 - (x+b)^2 = (2+b)^2$. 3. $(x+b)^2 = 16 - (2+b)^2 = 16 - (4 + 4b + b^2) = 12 - 4b - b^2$. 4. $x+b = \pm\sqrt{12 - 4b - b^2}$. 5. Чтобы корень был единственным, дискриминант $D = 12 - 4b - b^2$ должен быть равен $0$ (тогда $x+b=0$, $x=-b$) или один из корней не должен удовлетворять условиям (но тут оба корня симметричны). 6. $b^2 + 4b - 12 = 0$. Корни $b = 2$ и $b = -6$. Условие $b \ge -2$ отсекает $-6$. 7. При $b=2$: $\sqrt{16-(x+2)^2} = 4 \implies (x+2)^2=0 \implies x=-2$. ОДЗ выполняется. 8. При $b \in (-2, 2)$: $D > 0$, значит $x+b = \pm\sqrt{D}$, то есть $x_1 = -b + \sqrt{D}$ и $x_2 = -b - \sqrt{D}$ — два корня. 9. При $b > 2$: $D < 0$ — решений нет. **Ответ: $b=2$**