6(16) На чемпионате по прыжкам в воду выступают 20 спортсменов, среди них 5 спортсменов из России и 7 спортсменов из Китая.

6(16) Решение: В данной задаче количество всех спортсменов не влияет на вероятность того, что конкретный спортсмен (из Китая) окажется на определенном месте (вторым) при случайном распределении порядка выступлений. Вероятность события «вторым будет выступать спортсмен из Китая» равна отношению количества благоприятных исходов к общему числу спортсменов. Количество спортсменов из Китая: 7 Общее количество спортсменов: 20 Вероятность $P = \frac{7}{20} = 0,35$. Ответ: 0,35 7(16) Решение: Прямая $y = -4x - 11$ является касательной к графику функции $y = x^3 + 7x^2 + 7x$. Пусть $x_0$ — абсцисса точки касания. Уравнение касательной имеет вид $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$. 1) Найдем производную функции: $f'(x) = 3x^2 + 14x + 7$ 2) Так как касательная $y = -4x - 11$ имеет угловой коэффициент $-4$, то: $f'(x_0) = -4$ $3x_0^2 + 14x_0 + 7 = -4$ $3x_0^2 + 14x_0 + 11 = 0$ Решим квадратное уравнение через дискриминант: $D = 14^2 - 4 \cdot 3 \cdot 11 = 196 - 132 = 64$ $x_0 = \frac{-14 \pm 8}{6}$ $x_1 = \frac{-6}{6} = -1$ $x_2 = \frac{-22}{6} = -3\frac{2}{3}$ 3) Проверим, какая точка удовлетворяет уравнению касательной $y = -4x - 11$. Значение функции в точке касания должно совпадать с прямой: $f(x_0) = -4x_0 - 11$ Для $x_0 = -1$: $f(-1) = (-1)^3 + 7(-1)^2 + 7(-1) = -1 + 7 - 7 = -1$ $-4(-1) - 11 = 4 - 11 = -7$ $-1 \neq -7$ (не подходит) Для $x_0 = -3\frac{2}{3} = -\frac{11}{3}$: $f(-\frac{11}{3}) = (-\frac{11}{3})^3 + 7(-\frac{11}{3})^2 + 7(-\frac{11}{3}) = -\frac{1331}{27} + 7 \cdot \frac{121}{9} - \frac{77}{3} = -\frac{1331}{27} + \frac{2541}{27} - \frac{693}{27} = \frac{517}{27} \approx 19,15$ $-4(-\frac{11}{3}) - 11 = \frac{44}{3} - 11 = \frac{44-33}{3} = \frac{11}{3} \approx 3,67$ (вероятно, в условии опечатка в функции или коэффициентах, так как $f'(x_0)$ не дает верной точки касания для этого уравнения касательной. Перепроверим уравнение $f(x)=x^3+7x^2+7x$. Возможно, функция была $x^3+7x^2+7$ или другие коэффициенты. Если строго следовать условию, то абсцисса точки касания $x_0$, для которой производная равна $-4$, это $-1$ или $-11/3$. Если задача из сборника, часто $f(x) = x^3 + 7x^2 + 7x + ...$. При условии $f(x) = x^3 + 7x^2 + 7x$ касательная с коэффициентом $-4$ имеет $x_0 = -1$ или $x_0 = -11/3$. Если требуется найти именно абсциссу точки касания, исходя из производной, выбираем $x = -1$.) Ответ: -1