1. На рис. 186 ∠BAK = ∠CAK, ∠ABD = ∠CBD, BD⊥AC, ∠AKB = 102°. Найти углы треугольника ABC.

### Задача 1 Дано: $\triangle ABC$, $AK$ — биссектриса $\angle A$, $BD$ — биссектриса $\angle B$, $BD \perp AC$, $\angle AKB = 102^\circ$. 1. Рассмотрим $\triangle ABD$. Так как $BD \perp AC$, то $\angle ADB = 90^\circ$. В $\triangle ABD$ отрезок $AK$ является биссектрисой, значит, в $\triangle ABD$ $AK$ — это биссектриса угла $A$. 2. В треугольнике $ABD$ отрезок $AK$ делит его на два треугольника. Заметим, что в $\triangle ABK$ внешний угол при вершине $K$ равен $102^\circ$. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним. Т.е. $\angle KAB + \angle KBA = 102^\circ$. 3. Так как $AK$ и $BD$ — биссектрисы, пусть $\angle BAK = \angle CAK = \alpha$, а $\angle ABD = \angle CBD = \beta$. Тогда $\angle A = 2\alpha$, а $\angle B = 2\beta$. 4. В $\triangle ABD$: $\angle A + \angle ABD + \angle ADB = 180^\circ \Rightarrow 2\alpha + \beta + 90^\circ = 180^\circ \Rightarrow 2\alpha + \beta = 90^\circ$. 5. В $\triangle ABK$: угол $\angle AKB = 102^\circ$. Внешний угол для $\triangle ADK$ при вершине $K$ это $102^\circ$, откуда $\angle KAD + \angle ADK = 102^\circ$. Но $\angle ADK = 90^\circ$, поэтому $\angle KAD = 12^\circ$. 6. Так как $AK$ — биссектриса, то $\alpha = \angle KAD = 12^\circ$. Значит, $\angle A = 2 \cdot 12^\circ = 24^\circ$. 7. Из $2\alpha + \beta = 90^\circ \Rightarrow 2(12^\circ) + \beta = 90^\circ \Rightarrow 24^\circ + \beta = 90^\circ \Rightarrow \beta = 66^\circ$. 8. Тогда $\angle B = 2\beta = 132^\circ$. Это невозможно для треугольника (сумма углов 180, а тут уже > 180). *Перепроверим условие*: видимо, $AK$ пересекает $BD$ в точке $O$. Угол $\angle AKB$ — это угол между биссектрисой $AK$ и стороной $BC$ (или $BD$?). На рисунке $K$ лежит на $BC$. Если $\angle AKB = 102^\circ$, то смежный угол $\angle AKC = 180 - 102 = 78^\circ$. В $\triangle AKC$: $\angle C = 180 - \angle KAC - \angle AKC = 180 - 12 - 78 = 90^ \circ$. Так как $\angle C = 90^ \circ$, то $\angle A + \angle B = 90^ \circ$. $\angle A = 24^ \circ$, значит $\angle B = 66^ \circ$. **Ответ:** $\angle A = 24^\circ, \angle B = 66^\circ, \angle C = 90^\circ$. ### Задача 5 Дано: прямоугольный $\triangle ABC$ (пусть $\angle C = 90^\circ$), один из острых углов $60^\circ$, биссектриса этого угла равна $12$ см. 1. Пусть $\angle A = 60^\circ$, тогда $\angle B = 30^\circ$. Биссектриса угла $A$ делит его на два угла по $30^\circ$. Пусть биссектриса $AK = 12$ см. 2. В $\triangle ACK$ ($C=90^\circ, \angle CAK=30^\circ$): катет $CK$ напротив угла $30^\circ$ равен половине гипотенузы $AK$, т.е. $CK = 6$ см. По теореме Пифагора $AC = \sqrt{12^2 - 6^2} = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}$. 3. В $\triangle ABC$: $AC = 6\sqrt{3}$, $\angle B = 30^\circ$. $AC$ — катет против угла $30^\circ$, значит, гипотенуза $AB = 2 \cdot AC = 12\sqrt{3}$. 4. Больший катет $BC$ равен $\sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{(12\sqrt{3})^2 - (6\sqrt{3})^2} = \sqrt{432 - 108} = \sqrt{324} = 18$. **Ответ:** 18 см.