Контрольная работа по теме «Логарифмическая функция» 2 вариант

### 1. Вычислите а) $\log_3 \frac{1}{27} = \log_3 (3^{-3}) = -3$ б) $2^{2 + 3\log_2 5} = 2^2 \cdot 2^{\log_2 5^3} = 4 \cdot 125 = 500$ в) $\log_2 56 + 2\log_2 12 - \log_2 63 = \log_2 56 + \log_2 144 - \log_2 63 = \log_2 \left(\frac{56 \cdot 144}{63}\right) = \log_2 (8 \cdot 16) = \log_2 128 = 7$ г) $\frac{\log_5 4}{\log_5 2} = \log_2 4 = 2$ ### 2. Сравните числа $\log_{0,8} \frac{4}{5} = \log_{0,8} 0,8 = 1$ $\log_{0,8} \frac{5}{6} < \log_{0,8} \frac{4}{5} = 1$ (так как основание $0,8 < 1$, неравенство переворачивается: $\frac{5}{6} > \frac{4}{5}$). Ответ: $1 > \log_{0,8} \frac{5}{6}$. ### 3. Решите уравнение $\log_4 (2x + 3) = 3$ $2x + 3 = 4^3$ $2x + 3 = 64$ $2x = 61$ $x = 30,5$ ### 4. Решите неравенство $\log_{0,5} (x - 3) > 2$ $x - 3 < 0,5^2$ $x - 3 < 0,25$ $x < 3,25$ С учетом области определения $x - 3 > 0 \Rightarrow x > 3$. Ответ: $x \in (3; 3,25)$. ### 5. Решите уравнение $\log_{\sqrt{3}} x + \log_9 x = 10$ Перейдем к основанию 3: $2\log_3 x + 0,5\log_3 x = 10$ $2,5\log_3 x = 10$ $\log_3 x = 4$ $x = 3^4 = 81$ ### 6. Решите неравенство а) $\log_{0,5} (x - 3) + \log_{0,5} (9 - x) \ge -3$ Область определения: $3 < x < 9$. $\log_{0,5} ((x - 3)(9 - x)) \ge -3$ $(x - 3)(9 - x) \le 0,5^{-3}$ $-x^2 + 12x - 27 \le 8$ $x^2 - 12x + 35 \ge 0$ Корни: $x_1 = 5, x_2 = 7$. Решение: $x \in (3; 5] \cup [7; 9)$. б) $\log_2^2 x - 3\log_2 x \le 4$ Пусть $t = \log_2 x$. $t^2 - 3t - 4 \le 0$ $(t - 4)(t + 1) \le 0$ $t \in [-1; 4]$ $-1 \le \log_2 x \le 4$ $0,5 \le x \le 16$ Ответ: $x \in [0,5; 16]$.