Из точки M к окружности с центром O проведены касательные MA и MB. Найдите расстояние между точками касания A и B, если ∠AOB=60°, MA=3.

Дано: Окружность с центром $O$, из точки $M$ проведены касательные $MA$ и $MB$ ($A$ и $B$ — точки касания), $\angle AOB = 60^\circ$, $MA = 3$. Найти: $AB$. Решение: 1. По свойству касательных, проведенных из одной точки к окружности, $MA = MB$. Значит, треугольник $MAB$ — равнобедренный с основанием $AB$. 2. Также $OA \perp MA$ и $OB \perp MB$ (радиусы, проведенные в точку касания). Четырехугольник $MAOB$ имеет сумму углов $360^\circ$. Тогда $\angle AMB = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. 3. В треугольнике $MAB$: $MA = MB = 3$, $\angle M = 120^\circ$. Углы при основании $AB$ равны: $\angle MAB = \angle MBA = (180^\circ - 120^\circ) / 2 = 30^\circ$. 4. Проведем высоту $MK$ в треугольнике $MAB$ к основанию $AB$. Она является биссектрисой угла $M$ и медианой. В прямоугольном треугольнике $MAK$: $\angle AMK = 60^\circ$, $\angle MAK = 30^\circ$, гипотенуза $MA = 3$. 5. Катет $AK = MA \cdot \sin(60^\circ) = 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 1,5\sqrt{3}$. 6. Так как $MK$ — медиана, то $AB = 2 \cdot AK = 2 \cdot 1,5\sqrt{3} = 3\sqrt{3}$. Ответ: $3\sqrt{3}$.