Экзаменационный билет №21 1. Параллелепипед и куб 2. Решить уравнение: cos^2x + 4sin^2x = 2 sin 2x; 3. Найдите наименьшее значение функции y = x^3 - 27x на отрезке [0;4].

### Задание 1. Параллелепипед и куб **Параллелепипед** — это многогранник, у которого 6 граней, каждая из которых является параллелограммом. * **Виды:** прямоугольный параллелепипед (грани — прямоугольники), прямой (боковые ребра перпендикулярны основанию), наклонный. * **Основные свойства:** противоположные грани равны и параллельны; все 4 диагонали пересекаются в одной точке и делятся ею пополам. **Куб** — это частный случай прямоугольного параллелепипеда, у которого все 6 граней — квадраты (все ребра равны). * **Свойства:** все грани равны; диагонали равны; объем $V = a^3$, где $a$ — ребро куба. ### Задание 2. Решить уравнение: $\cos^2 x + 4\sin^2 x = 2 \sin 2x$ 1. Используем формулу синуса двойного угла: $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$. 2. Подставим в уравнение: $\cos^2 x + 4\sin^2 x = 2(2 \sin x \cos x) = 4 \sin x \cos x$. 3. Перенесем все в одну сторону: $\cos^2 x - 4 \sin x \cos x + 4 \sin^2 x = 0$. 4. Заметим, что левая часть представляет собой квадрат разности: $(\cos x - 2 \sin x)^2 = 0$. 5. Отсюда $\cos x - 2 \sin x = 0$, или $\cos x = 2 \sin x$. 6. Разделим на $\cos x$ (при условии $\cos x \neq 0$, так как если $\cos x = 0$, то $\sin x = 0$, что невозможно): $1 = 2 \tan x$, значит, $\tan x = 0,5$. 7. Ответ: $x = \arctan 0,5 + \pi n, n \in \mathbb{Z}$. ### Задание 3. Найдите наименьшее значение функции $y = x^3 - 27x$ на отрезке $[0; 4]$ 1. Найдем производную функции: $y' = 3x^2 - 27$. 2. Приравняем к нулю для поиска критических точек: $3x^2 - 27 = 0 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3$. 3. Проверим точки на принадлежность отрезку $[0; 4]$. Точка $x = 3$ входит в отрезок, точка $x = -3$ — нет. 4. Вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке: * $y(0) = 0^3 - 27 \cdot 0 = 0$ * $y(3) = 3^3 - 27 \cdot 3 = 27 - 81 = -54$ * $y(4) = 4^3 - 27 \cdot 4 = 64 - 108 = -44$ 5. Сравнивая значения $0, -54, -44$, видим, что наименьшее — $-54$. **Ответ:** -54.