Решите неравенства методом рационализации 1. log7-x(2x+3) * log2x+3(3x^2) <= log7-x(3x+4) * log3x+4(10x+25).

Метод рационализации для логарифмических неравенств вида $\log_{a(x)} b(x) \vee 0$ (где $\vee$ — знак неравенства) сводится к замене на выражение $(a(x)-1)(b(x)-1) \vee 0$ при условии ОДЗ. Аналогично, переход от $\log_{a(x)} b(x) - \log_{a(x)} c(x) \vee 0$ к $(a(x)-1)(b(x)-c(x)) \vee 0$. ### 1. $\log_{7-x}(2x+3) \cdot \log_{2x+3}(3x^2) \le \log_{7-x}(3x+4) \cdot \log_{3x+4}(10x+25)$ Используем формулу $\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c$ (при условии существования логарифмов): $\log_{7-x}(3x^2) \le \log_{7-x}(10x+25)$ Переносим влево: $\log_{7-x}(3x^2) - \log_{7-x}(10x+25) \le 0$ Применяем метод рационализации: $(7-x-1)(3x^2 - (10x+25)) \le 0$ $(6-x)(3x^2 - 10x - 25) \le 0$ $(6-x)(3x+5)(x-5) \le 0$ $-(x-6)(3x+5)(x-5) \le 0 \implies (x-6)(x-5)(3x+5) \ge 0$ Решая методом интервалов с учетом ОДЗ (основания $>0$ и $\ne 1$, аргументы $>0$): $x \in [-5/3; 5) \cup [6; 7)$. ### 2. $x \log_8(\frac{x}{5}-1) \ge 3 \log_2(\frac{x}{5}-1)$ Заметим, что $\log_8 y = \frac{1}{3} \log_2 y$. Подставим: $x \cdot \frac{1}{3} \log_2(\frac{x}{5}-1) \ge 3 \log_2(\frac{x}{5}-1)$ $\frac{x}{3} \log_2(\frac{x}{5}-1) - 3 \log_2(\frac{x}{5}-1) \ge 0$ $(\frac{x}{3} - 3) \log_2(\frac{x}{5}-1) \ge 0$ $\frac{x-9}{3} \log_2(\frac{x}{5}-1) \ge 0$ Применим рационализацию для $\log_2(\frac{x}{5}-1)$, учитывая что $\log_2 y = \log_2 y - \log_2 1$, заменим на $(y-1)$: $(x-9)(\frac{x}{5} - 1 - 1) \ge 0$ $(x-9)(\frac{x}{5} - 2) \ge 0$ $(x-9)(x-10) \ge 0$ Решение: $x \in (-Infinity; 9] \cup [10; +Infinity)$. С учетом ОДЗ $\frac{x}{5}-1 > 0 \implies x > 5$, получаем $x \in (5; 9] \cup [10; +Infinity)$. ### 3. $\log_{2-5x} 3 + \frac{1}{\log_2(2-5x)} \le \frac{1}{\log_6(6x^2-6x+1)}$ Это неравенство сложнее, требует приведения к общему основанию или логарифмирования. Однако, метод рационализации здесь применяется к каждому слагаемому отдельно при приведении к виду $\frac{1}{\log_a b} = \log_b a$. Задание решается последовательным раскрытием ОДЗ для всех оснований и аргументов.