В прямоугольном треугольнике ABC ∠B = 90°, ∠C = 30°, BC = 18 см. Найдите длины отрезков, на которые биссектриса AD делит катет BC.

Question

Вопрос:

В прямоугольном треугольнике ABC ∠B = 90°, ∠C = 30°, BC = 18 см. Найдите длины отрезков, на которые биссектриса AD делит катет BC.

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

В прямоугольном треугольнике $ABC$: $\angle B = 90^\circ$, $\angle C = 30^\circ$, значит, $\angle A = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$. Так как $AD$ — биссектриса, она делит $\angle A$ пополам: $\angle CAD = \angle BAD = 30^\circ$. 1. Рассмотрим треугольник $ADC$: $\angle C = 30^\circ$ и $\angle CAD = 30^\circ$. Значит, треугольник равнобедренный с основанием $AC$, поэтому $CD = AD$. 2. В прямоугольном треугольнике $ABD$: $\angle BAD = 30^\circ$, значит, катет $BD$ лежит против угла в $30^\circ$. По свойству: $BD = \frac{1}{2} AD$. 3. Так как $CD = AD$, то $BD = \frac{1}{2} CD$, или $CD = 2BD$. 4. Известно, что $BC = BD + CD = 18$ см. Подставим $CD = 2BD$ в уравнение: $BD + 2BD = 18 \implies 3BD = 18 \implies BD = 6$ см. Тогда $CD = 18 - 6 = 12$ см. **Ответ: 6 см и 12 см.**

В прямоугольном треугольнике ABC ∠B = 90°, ∠C = 30°, BC = 18 см. Найдите длины отрезков, на которые биссектриса AD делит катет BC.

Ответ ассистента

Другие решения