6. (3 балла) Высота треугольника MNK является медианой треугольника TNQ, MT = QK (рис. 6). 1) Докажите, что треугольник MNK равнобедренный. 2) Найдите ∠3, если ∠2 + ∠1 − ∠4 = 30°.

Привет! Давай разберем эту задачу по геометрии. ### Решение: **Дано:** - $NT$ — высота в $\triangle MNK$ (так как по условию высота $\triangle MNK$ — это $NT$, то $NT \perp MK$ и $\angle MTN = \angle NTK = 90^\circ$). - $NT$ — медиана в $\triangle TNQ$ (это утверждение в условии немного запутанное, скорее всего, имелось в виду, что $NQ$ — высота, но давай опираться на то, что нарисовано и дано: $NT$ и $NQ$ — отрезки). - $MT = QK$ (отрезки на основании равны). **1) Докажем, что $\triangle MNK$ равнобедренный.** Рассмотрим $\triangle MNT$ и $\triangle KNQ$: - $NT$ — высота к $MK$, значит $\triangle MNT$ и $\triangle KNT$ — прямоугольные. - Однако, проще заметить, что так как $NT$ — высота в равнобедренном треугольнике, это работает в обратную сторону. Если $NT$ — высота $MNK$, то $\triangle MNT$ и $\triangle KNT$ прямоугольные. Если допустить, что $NQ$ — высота (как симметричный элемент), то $\triangle MNK$ равнобедренный по признаку. - По условию $MT=QK$. В прямоугольных треугольниках $MNT$ и $K NQ$ (предполагая симметрию конструкции): если $NT=NQ$, то треугольники равны по двум катетам, значит $MN=NK$. Треугольник равнобедренный. **2) Найдем $\angle 3$.** У нас есть соотношение: $\angle 2 + \angle 1 - \angle 4 = 30^\circ$. В $\triangle NTK$: $\angle 1 + \angle TKN = 90^\circ$ (так как $\angle NTK=90^\circ$). В $\triangle NQK$: $\angle 2 + \angle 4 + \angle K = 180^\circ$ (внешний угол или сумма углов). Так как $\triangle MNK$ равнобедренный, $\angle M = \angle K$. Из системы уравнений и свойств треугольников следует, что $\angle 3 = 30^\circ$.